Mithilfe der Quersumme kannst du herausfinden, durch welche Zahlen eine Zahl teilbar ist. Wie du die Quersumme berechnest, erfährst du hier und im Video!
Inhaltsübersicht
Was ist die Quersumme?
Die Quersumme ist das Ergebnis, das du erhältst, wenn du alle Ziffern einer Zahl zusammen zählst. Ziffern sind dabei die einzelnen Zahlenbausteine: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Jede Zahl besteht aus einer oder mehrerer dieser Ziffern. Die Zahl 278 hat zum Beispiel drei Ziffern: 2, 7 und 8.
Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl.
Die Quersumme von 278 ist also: 2 + 7 + 8 = 17
Wie berechnest du die Quersumme?
Um die Quersumme zu berechnen, brauchst du nur 2 Schritte:
Schritt 1: Zuerst zerlegst du die Zahl in ihre einzelnen Ziffern
Schritt 2: Danach addierst du alle Ziffern
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Quersumme einer Zahl mit 2 Ziffern
➡️ Beispiel: Was ist die Quersumme von 48?
- Schritt 1: Als Erstes bestimmst du die einzelnen Ziffern. Die Zahl 48 besteht aus den Ziffern 4 und 8.
- Schritt 2: Jetzt zählst du beide Zahlen zusammen — also 4 + 8 = 12. Die Quersumme von 48 ist also 12.
Wichtig: In Mathe gibst du die Quersumme so an: Q(x) = …. Das Q steht hier für „Quersumme“ und das x für die Zahl, von der du die Quersumme berechnen willst. Hinter das = schreibst du dann dein Rechenergebnis. In unserem Beispiel heißt es also: Q(48) = 12.
Quersumme einer Zahl mit 3 Ziffern
➡️ Beispiel: Was ist die Quersumme von 689?
- Schritt 1: Die Zahl 689 hat 3 Ziffern: 6, 8 und 9.
- Schritt 2: Wenn du die Ziffern 6 + 8 + 9 zusammenrechnest, macht das 23. Die Quersumme von 689 ist also 23 und du schreibst Q(689) = 23.
Quersumme einer Zahl mit 4 Ziffern
➡️ Beispiel: Was ist die Quersumme von 7421?
- Schritt 1: Die Ziffern von 7421 sind 7, 4, 2 und 1.
- Schritt 2: Zusammengezählt ergeben die Ziffern 7 + 4 + 2 + 1 = 14. Du erhältst für die Zahl 7421 also eine Quersumme von 14. Mathematisch geschrieben heißt das: Q(7421) = 14.
Eine einstellige Zahl hat nur eine Ziffer, wie zum Beispiel die 1 oder die 2. Wenn du für so eine Zahl die Quersumme bestimmen möchtest, musst du gar nicht rechnen — denn die Zahl ist auch ihre Quersumme! Die 1 hat also die Quersumme 1, die 2 die Quersumme 2 und so weiter.
Wozu brauchst du die Quersumme? — Teilbarkeit
Mit der Quersumme kannst du ganz schnell prüfen, ob eine Zahl durch bestimmte Zahlen teilbar ist. Das hilft dir vor allem bei großen Zahlen weiter. Dabei gibt es 3 wichtige Fälle:
- Teilbarkeit durch 3
- Teilbarkeit durch 6
- Teilbarkeit durch 9
Ist eine Zahl durch 3 teilbar?
Um herauszufinden, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, gibt es eine einfache Regel, die du dir merken kannst:
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn du ihre Quersumme durch 3 teilen kannst.
➡️ Beispiel: Ist 972 durch 3 teilbar?
- Schritt 1: 972 besteht aus den Ziffern 9, 7 und 2.
- Schritt 2: Die Quersumme von 972 ist also 18, denn 9 + 7 + 2 = 18.
Da 3 · 6 = 18 ist, weißt du: 18 kannst du durch 3 teilen. Und weil die Quersumme von 972 durch 3 teilbar ist, weißt du auch: 972 ist durch 3 teilbar.
→ Überprüfen wir das: 972 ÷ 3 = 324. Super! ✓
Ist eine Zahl durch 6 teilbar?
Auch für die Teilbarkeit durch 6 gibt es eine Regel:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn zwei Dinge stimmen:
1) Ihre Quersumme ist durch 3 teilbar und
2) die Zahl ist gerade.
➡️ Beispiel: Ist 6312 durch 6 teilbar?
- Schritt 1: Die Zahl 6312 hat die Ziffern 6, 3, 1 und 2.
- Schritt 2: Die Quersumme von 6312 ist also 12 (6 + 3 + 1 + 2 = 12).
Du weißt: 3 • 4 = 12. Also kannst du 12 durch 3 teilen — die erste Voraussetzung ist erfüllt. Außerdem ist 6312 eine gerade Zahl. Das erkennst du daran, dass sie auf einer 2 endet. Damit sind beide Bedingungen erfüllt und du kannst 6312 durch 6 teilen.
→ Überprüfen wir das: 6312 ÷ 6 = 1052. Passt! ✓
Ist eine Zahl durch 9 teilbar?
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 9 teilbar ist, kannst du folgende Regel hernehmen:
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn du ihre Quersumme durch 9 teilen kannst.
➡️ Beispiel: Ist 7855 durch 9 teilbar?
- Schritt 1: 7855 besteht aus den Ziffern 7, 8, 5 und 5.
- Schritt 2: Zählst du 7 + 8 + 5 + 5 zusammen, ergibt sich die Quersumme 25.
Du kannst die Zahl 25 nicht ohne Rest durch 9 teilen, denn 2 • 9 = 18 und 3 • 9 = 27. Das heißt, dass die Zahl 7855 nicht durch 9 teilbar ist.
→ Überprüfen wir das: 7855 ÷ 9 = 872,78. Du kannst 7855 also nicht ohne Rest durch 9 teilen! ✗
Besonderheit: die alternierende Quersumme
Mit der alternierenden Quersumme kannst du prüfen, ob eine Zahl durch 11 teilbar ist. Dabei gilt folgende Regel:
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme am Ende 11 oder 0 ergibt.
Um die alternierende Quersumme zu berechnen, kannst du immer in 3 Schritten vorgehen:
- Schritt 1: Wie bei der normalen Quersumme zerlegst du die Zahl zuerst in ihre einzelnen Ziffern.
- Schritt 2: Jetzt setzt du zwischen die Ziffern abwechselnd ein Plus und ein Minus. Wichtig: Du startest dabei von hinten!
- Schritt 3: Am Ende rechnest du wieder alle Ziffern zusammen.
Alternierende Quersumme berechnen — So geht’s!
➡️ Beispiel 1: Ist die Zahl 42188 durch 11 teilbar?
- Schritt 1: Die Zahl 42188 hat die Ziffern 4, 2, 1, 8 und 8.
- Schritt 2: Wenn du anschließend von hinten abwechselnd Plus und Minuszeichen setzt, sieht das so aus: +4 -2 +1 -8 +8.
- Schritt 3: Ausgerechnet wären das 3 (+ 4 — 2 + 1 — 8 + 8 = 3).
Die alternierende Quersumme von 42188 ist 3. Deshalb weißt du, dass du 42188 nicht durch 11 teilen kannst. Denn: Dein Ergebnis ist weder 0, noch 11.
→ Überprüfen wir das: 42188 ÷ 11 = 3835,25. Du kannst 42188 also nicht ohne Rest durch 11 teilen! ✗
➡️ Beispiel 2: Ist die Zahl 1540 durch 11 teilbar?
- Schritt 1: Die Ziffern von 1540 sind 1, 5, 4 und 0.
- Schritt 2: Jetzt setzt du wieder abwechselnd von hinten Plus- und Minuszeichen — beginnend mit einem Plus: -1 +5 -4 +0.
- Schritt 3: Zusammengerechnet macht das 0 (- 1 + 5 — 4 + 0 = 0)
Du bekommst also eine alternierende Quersumme von 0 raus. Das heißt, dass du 1540 durch 11 teilen kannst.
→ Überprüfen wir das: 1540 ÷ 11 = 140. Passt! ✓
Primzahlen
Du hast alle Teilbarkeitsregeln durchprobiert, aber keine funktioniert ohne Rest? Dann handelt es sich wahrscheinlich um eine Primzahl! Was das ist, erfährst du hier!
