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Gaußsches Eliminationsverfahren

Wichtige Inhalte in diesem Video

Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens

Umwandlung des Gleichungssystems

Matrix in Stufenform

Auflösen des Gleichungssystems

Eigentliche Richtung des Maschenstromes

In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie du mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens lineare Gleichungssysteme schnell lösen kannst.

Schau auch gleich in unser Video dazu rein, in dem du das Verfahren Schritt für Schritt nachverfolgen kannst.

Inhaltsübersicht

Gaußsches Eliminationsverfahren einfach erklärt

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Dafür wird das Gleichungssystem zunächst in Matrixform ausgedrückt. Anschließend formst du die Matrix, durch Zeilenumformung so um, dass ihre Werte unterhalb der Hauptdiagonalen zu 0 werden. In der untersten Zeile kannst du nun die Lösung der ersten Unbekannten ermitteln. Diese Lösung setzt du dann in die Zeile darüber ein um deine nächste Unbekannte zu bestimmen. Diesen Vorgang wiederholst du solange, bis du alle Unbekannten bestimmt hast und damit dein Gleichungssystem gelöst ist.

Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens

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Bei der Analyse von elektronischen Schaltungen mit dem Maschenstrom– oder Knotenpunktpotentialverfahren erhalten wir ein Gleichungssystem, das sich als Matrixgleichung schreiben lässt. Allgemein kann das so aussehen:

Allgemeine Matrixgleichung

Matrix-Gleichungen können mithilfe verschiedener Verfahren gelöst werden: Eine Möglichkeit ist die Cramersche Regel. Die Alternative dazu ist das Gaußsche Eliminationsverfahren, welches wir dir hier vorstellen.

Umwandlung des Gleichungssystems

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Beginnen wir mit Schritt eins des Gaußschen Eliminationsverfahrens, der Umwandlung des Gleichungssystems. Dazu multiplizieren wir jedes Element des Vektors mit jedem Element der jeweiligen Zeile der Matrix. Der Ergebnisvektor wird dann durch einen Strich vom Rest der Matrix getrennt. Diese Form der Matrix benötigen wir, um danach weiterrechnen zu können.

Gaußsches Eliminationsverfahren — 1. Umwandlung des Gleichungssystems

Der Vektor mit den gesuchten Strömen steht nun über den einzelnen Spalten. Wir schreiben ihn dabei aber nicht hin, sondern behalten ihn einfach im Kopf. Zudem nummerieren wir die einzelnen Zeilen durch.

Matrix in Stufenform

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Schritt zwei ist dann die Matrixumformung in Stufenform, sodass nur auf und oberhalb der Diagonalen Werte ungleich Null stehen. Das erreichst du durch geschicktes multiplizieren und späterem Addieren bzw. Subtrahieren der Zeilen.

Gaußsches Eliminationsverfahren — 2. Matrixumformung in Stufenform

Im Folgenden demonstrieren wir die die Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens an einem Beispiel.

Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel

Gesucht sind die Maschenströme $I_{M1}$ , $I_{M2}$ und $I_{M3}$ . Alle Widerstände sind gleich groß und haben den Wert $1 \Omega$ . Die Spannungsquelle $U_{q0}$ hat Volt und die Quelle $U_{q5}$ liefert Volt. Nun können wir die Werte einsetzen. Die Matrix sieht jetzt so aus:

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem — Einsetzen der Werte

Für die weiteren Rechnungen vernachlässigen wir die Einheiten – wir schauen uns also nur die Zahlen an.

An dieser Stelle können wir das Gaußsche Eliminationsverfahren anwenden.

Dabei eliminierst du als erstes die beiden unteren Plätze deiner Matrix. Dafür multiplizieren wir alle Werte der zweiten und dritten Zeile mit dem Faktor drei.

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem — Eliminierung der unteren Plätze der Matrix

Jetzt haben wir auf den beiden zu eliminierenden Stellen stehen. Wenn wir jetzt die erste Zeile addieren, kommen wir auf die gewünschte Null.

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem — Addition der ersten Zeile

Wenn du sicher im Rechnen bist, dann kannst du das ganze natürlich auch in einem Schritt machen. Neben dem Pfeil steht dann: wird zu mal plus und wird zu mal plus .

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem — Beide Schritte können auch simultan durchgeführt werden

Um die berühmte Treppe aus lauter Nullen zu erhalten, braucht die letzte Reihe eine weitere Null. Hierfür multiplizieren wir die dritte Zeile mit dem Faktor 2, um anschließend durch das Addieren der zweiten Zeile auf Null zu kommen.

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem — Der letzte Schritt führt zur 0er-Treppe

Auflösen des Gleichungssystems

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Wir haben das Ziel des Gaußschen Eliminationsverfahrens erreicht – das Ergebnis ist die Matrix in Stufenform. Hier noch ein Tipp: Schreibe dir bei deiner Matrixumformung am besten jeden deiner Rechenschritte Schritt für Schritt auf. Denn wenn du dich verrechnen solltest, dann hilft das ungemein bei der Fehlersuche.

Kommen wir jetzt zu Schritt drei, dem rekursiven Auflösen. Das heißt, dass immer wieder in das Ergebnis in die Zeile darüber eingesetzt wird. Rekursiv bedeutet dabei, dass wir in der letzten Zeile anfangen, denn in dieser steht schon „fast“ das Ergebnis für den Maschenstrom $I_{M3}$ . Wir erinnern uns an die Bedeutung der einzelnen Spalten: Spalte 1 steht für $I_{M1}$ , Spalte 2 für $I_{M2}$ und Spalte 3 für $I_{M3}$ .

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem — 3. Rekursives Auflösen

Jetzt schreibst du die Gleichungen der einzelnen Zeilen heraus.

In Zeile 3 steht:

$12 I_{M3} = -30.$

$I_{M3}$ ist also durch und das ist -2,5 . Dabei darfst du natürlich die Einheit Ampere nicht vergessen.

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem, Stufenform — Auflösen des Gleichungssystems

In Zeile 2 steht:

$8I_{M2}\ - 4I_{M3}= -40$

Umgeformt auf $I_{M3}$ ergibt das: Ein Achtel mal Minus plus vier I_M3 . $I_{M3}$ haben wir ja gerade eben berechnet. $I_{M2}$ ist also -6,25 Ampere.

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem, Stufenform — Auflösen des Gleichungssystems

Zuletzt löst du noch Zeile 1 auf.

In Zeile 1 steht

$3I_{M1}\ - I_{M2}- I_{M3}= +20$

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Zeilenumformung, lineares Gleichungssystem, Stufenform — Auflösen des Gleichungssystems

Auflösen nach $I_{M1}$ und einsetzen der gerade eben berechneten anderen Ströme bringt dich zur Lösung:

$I_{M1}=3,75A$

Eigentliche Richtung des Maschenstromes

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Das war es auch schon. Das Ergebnis für die einzelnen Ströme ist das gleiche wie beim Beitrag zur Cramerschen Regel. Das bedeutet, erstens, dass wir uns nicht verrechnet haben und zweitens, dass beide Verfahren trotz verschiedener Vorgehensweisen zur Lösung führen.

Wir haben nun die Maschenströme mit der Annahme berechnet, dass alle Widerstände gleich groß sind und die Spannungsquellen 5V beziehungsweise 20V liefern. Der Maschenströme I_M3 und I_M2 sind negativ. Das bedeutet, dass die durch den Maschenumlauf angenommene Richtung des Maschenstromes falsch war – in Wirklichkeit fließt der Strom nämlich in die andere Richtung. Das erkennst du an dem negativen Vorzeichen.

Gaußsches Eliminationsverfahren, Matrix, Stufenform, Maschenstrom — Bestimmung der Richtung des Maschenstroms

Mit diesem Fahrplan kannst du das Gaußsche Eliminationsverfahren Schritt für Schritt einfach anwenden. Probiere es gleich aus!

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