Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien
Nachdem du nun das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien kennengelernt hast, beschäftigen wir uns nun mit dem etwas komplexeren Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. Auch hier wird das Nash Equilibrium anhand eines Beispiels einfach erklärt.
Inhaltsübersicht
Unterscheidung Nash-Gleichgewicht in reinen und gemischten Strategien
Zur Erklärung des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien müssen wir zunächst klären was der Unterscheid zwischen reinen und gemischten Strategien ist. Bei den reinen Strategien wählt jeder Spieler die Strategie, welche die beste Antwort auf die Strategie des Anderen ist. Wenn sich Dein bester Kumpel und Du wieder für Kino oder Fußball schauen entscheiden müssen und dann Dein Kumpel ins Kino gehen möchte, hast Du im Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien auch Kino gewählt. Dies ist dann die beste Antwort auf die Strategie Deines Kumpels.
Beim Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien ist das etwas anders. Hier treffen die Spieler nicht direkt eine Entscheidung, sondern wählen nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine bestimmte reine Strategie. Somit gibt es in jedem endlichen Spiel ein Nash Equilibrium in gemischten Strategien.
Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien am Beispiel Matching Pennies
Ein sehr beliebtes Beispiel für das Nash-Gleichgewicht in gemischten Spielen ist das sogenannte Matching Pennies – auf Deutsch: Kopf oder Zahl- Spiel. Erarbeiten wir uns das ganze also am besten daran. Die Auszahlungen sind dabei wieder in einer Bimatrix dargestellt:
Zur Erklärung des gemischten Nash-Gleichgewichts gehen wir also davon aus, dass Dein bester Kumpel mit einer Wahrscheinlichkeit von Kopf bzw. Zahl spielt. Dann musst Du Dir überlegen wie Du am besten auf diese Wahrscheinlichkeiten antwortest. Wenn dein Kumpel immer Kopf wählt, dann gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent und erhält 1 Euro. Mit der restlichen Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent verliert er und muss 1 Euro zahlen. Der erwartete Gewinn beträgt also 0 Euro. Genau das Gleiche passiert, wenn er immer Zahl wählen würde.
Er ist somit zwischen allen Randomisierungsstrategien, also zufällig gewählten Strategien, indifferent. Wenn das Gleiche für Dich gilt, dann haben wir ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien gefunden! Aber wie kommt man nun auf die Wahrscheinlichkeit von 
?
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten im gemischten Nash-Gleichgewicht
Bauen wir das Ganze anhand einer kleinen Rechnung auf: Gehen wir davon aus, dass Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 
Kopf spielst, dann wählst Du mit der Gegenwahrscheinlichkeit von 
Zahl. Genauso verhält es sich mit Deinem Kumpel.Damit können wir auch schon Deinen erwarteten Gewinn in Abhängigkeit von diesen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Wir gehen also alle möglichen Kombinationen von Kopf und Zahl durch und geben für jede die Wahrscheinlichkeit und den Gewinn für Dich und Deinen Kumpel an. Damit das Ganze übersichtlich ist, stellen wir eine Tabelle auf:
Gemischtes Nash-Gleichgewicht: Berechnung des Gewinns
Mit diesen Informationen können wir jetzt Deinen erwarteten Gewinn im Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien berechnen. Dafür müssen wir die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination multipliziert mit dem jeweiligen Gewinn miteinander addieren. Im nächsten Schritt möchten wir herausfinden wie sich der Gewinn entwickelt, wenn sich verändert. Wir leiten das Ganze also ab.
Wir sehen, dass Dein erwarteter Gewinn steigt, wenn 
größer 0,5 ist. Also wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Dein Kumpel Kopf wählt, mehr als 50 Prozent beträgt. Wenn das so ist, wirst Du gleich 1 wählen. Das heißt, Du wirst auf jeden Fall, also zu 100 Prozent Kopf nehmen.
Wenn kleiner 0,5 ist, dann sinkt natürlich Dein erwarteter Gewinn und Du wählst gleich 0. Für den Fall, dass jetzt genau 0,5 beträgt, bist Du zwischen allen Wahrscheinlichkeiten indifferent. Damit haben wir Deine beste Antwort auf alle möglichen Wahrscheinlichkeiten Deines Kumpels gefunden. Die daraus entstehende Funktion nennt man Reaktionsfunktion. Sie sieht dann so aus:
Deine Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt also null Prozent, wenn die Wahrscheinlichkeit Deines besten Kumpels für Kopf weniger als 50 Prozent ist. Und wenn die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei Deinem besten Kumpel mehr als 50 Prozent beträgt, wählst Du zu 100 Prozent Kopf. Bei fünfzig prozentiger Wahrscheinlichkeit, dass sich Dein bester Kumpel für Kopf entscheidet, bist Du zwischen Kopf und Zahl indifferent.
Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien
Um nun zum Nash-Gleichgewicht zu gelangen, müssen wir genau das Gleiche auch für Deinen Kumpel ausrechnen. Wir finden das dann genau dort, wo eure Strategien die wechselseitig besten Antworten aufeinander sind. Da wir die besten Antworten als Reaktionsfunktionen dargestellt haben, liegt das Nash-GG im Schnittpunkt der beiden Funktionen.
Wir haben also ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien, in dem beide von euch jede reine Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50 Prozent spielen. Du siehst, diese Strategie ist zwar etwas komplizierter zu berechnen, aber sie kann euch bei eurer Freizeitplanung eindeutig weiterhelfen.
Teilspielperfektes Gleichgewicht
Das teilspielperfekte Gleichgewicht ist eine verfeinert Form des Nash-Gleichgewichts. Es liegt vor, wenn in jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht vorliegt. Gleichgewichte in Teilspielen lassen sich nicht über die Normalform sondern nur über die Extensivform ermitteln, mit Hilfe eines Spielbaums. Ist in den einzelnen Entscheidungsknoten des Spielbuams ein Nash-Gleichgewicht vorhanden, liegt im gesamten Spiel ein teilspielperfektes Gleichgewicht vor. Teilspielperfektheit ist folglich ein Lösungskonzept für die spieltheoretische Analyse mit einem Spielbaum.