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Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl und Fourier-Zahl

Dir ist nach wie vor schleierhaft, was die instationäre Wärmeleitung ist und wie genau sich die Formeln der Biot-Zahl bzw. der Fourier-Zahl zusammensetzen? Außerdem würdest du gerne wissen, wie sich die instationäre Wärmeleitung mithilfe der beiden Formeln berechnen lässt? Dann bist du hier genau richtig, denn im folgenden Beitrag erklären wir dir den Zusammenhang zwischen der instationären Wärmeleitung und der Biot-Zahl sowie der Fourier-Zahl.

Inhaltsübersicht

Was ist die instationäre Wärmeleitung?

Bei instationären Wärmeleitungsvorgängen haben wir ein zeitabhängiges Temperaturfeld, was heißt, dass sich die Temperatur mit der Zeit ändert. Das passiert immer, wenn sich etwas aufwärmt oder abkühlt. Der wichtigste Unterschied zur stationären Wärmleitung ist, dass die Wärmespeicherfähigkeit der Materie mitberücksichtigt wird. Außerdem gibt es zwei verschiedene Modelle, die in Bezug auf die instationäre Wärmeleitung betrachtet werden. Zum einen das Modell des ideal gerührten Behälters und zum anderen das Modell des halbunendlichen Körpers.

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Wärmespeicherfähigkeit

Die Biot-Zahl und der ideal gerührte Behälter

Kommen wir zuerst zum ideal gerührten Behälter. Bei diesem Modell sind kleine Temperaturdifferenzen im Körper die Voraussetzung. Das Kriterium für die Anwendbarkeit des Modells ist die sogenannte Biot-Zahl. Wenn Bi<0,1 ist, dann weißt du, dass es sich um den ideal gerührten Behälter handelt. Die Biot-Zahl lässt sich berechnen mit:

$Bi=\ \frac{R_{th,\lambda}}{R_{th,\alpha}}=\frac{L/\lambda}{1/\alpha}=\frac{L\ast\alpha}{\lambda}$

wobei L die charakteristische Länge beschreibt. L kannst du mit der Formel, die du hier in der Graphik siehst, berechnen:

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Biot-Zahl

Instationäre Wärmeleitung – Beispiel Temperaturverlauf

So, nun kennen wir bereits die Biot-Zahl und können mit unserer Berechnung fortfahren. Wenn du weißt, um welches Modell es sich handelt, kannst du nun den zeitabhängigen Wärmestrom berechnen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel zur instationären Wärmeleitung an: Hier siehst du eine Kugel, die in einem Wasserbad abgekühlt wird. Die Kugel besitzt die Oberfläche A, den Wärmeübergangskoeffizienten $\alpha$ , sowie die Temperatur T(t), die sich mit der Zeit verändert. Das Wasserbad hat die gleichbleibende Temperatur $T_\infty$ . Da die Kugel wärmer als das Wasserbad ist, fließt der Wärmestrom $\dot{Q}(t)$ vom Inneren der Kugel in Richtung Wasserbad.

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Instationäre Wärmeleitung – Beispiel Temperaturverlauf

Auch der Wärmestrom ist auf Grund der sich ändernden Temperatur zeitabhängig. Um diesen jedoch berechnen zu können, brauchen wir erst einmal den instationären Temperaturverlauf im Körper, der Teil der instationären Wärmeleitung ist und angibt, welche Temperatur die Kugel zu welchem Zeitpunkt hat. Du kannst ihn berechnen mit:

$T\left(t\right)\ =\ T_{\infty}+\left(T_0-T_{\infty}\right)\ast exp\left(-\frac{\alpha\ast A}{\rho\ast c\ast V}\ast t\right)$

c ist dabei die spezifische Wärmekapazität. Diese kann für die gängigsten Materialien einer Tabelle entnommen werden. Wenn du diese Gleichung nun nach der Zeit t ableitest, bekommst du die Gleichung für den zeitabhängigen Wärmestrom:

${\dot{Q}}(t)\ =\ -\ \alpha\ast A\ast(T_{0}\ -\ T_{\infty})\ast exp\left(-\frac{\alpha\ast A}{\rho\ast c\ast V}\ast t\right)$

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Instationärer Temperaturverlauf

Wenn wir den zeitlichen Temperaturverlauf dimensionslos ausdrücken möchten, also ohne Einheiten, dann brauchen wir die normierte Temperatur und die Halbwertszeit. Die normierte Temperatur lässt sich berechnen mit:

$\Theta\ =\ \frac{T\left(t\right)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}$

und die Zeitkonstante mit:

$\tau\ =\ \frac{\rho*c*V}{\alpha*A}$

Die dimensionslose Form des Temperaturverlaufs lautet dann:

$\Theta\ =\ exp(-\frac{t}{\tau})$

und die dimensionslose Form des Zeitverhaltens:

$\frac{t}{\tau}=\ -ln(\Theta)$

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Normierte Temperatur

Die Fourier-Zahl und der halbunendliche Körper

So, du kennst nun die Biot-Zahl und kannst jetzt alles für den ideal gerührten Behälter ausrechnen, aber du wirst dich sicher fragen, was eigentlich mit dem Modell des halbunendlichen Körpers gemeint ist. Bei diesem Modell interessieren nur Temperaturänderungen in den oberflächennahen Bereichen. Außerdem werden hier nur kurze Zeiträume berücksichtigt, wobei neben der Biot-Zahl wieder eine Zahl als Entscheidungskriterium eingeführt wird. Diese ist die sogenannte Fourier-Zahl, kurz Fo-Zahl und lässt sich berechnen mit:

$Fo\ =\ \ \frac{a\ast t}{L^2}$

wobei L die halbe Dicke eines symmetrischen Körpers beschreibt.

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Fourier-Zahl

Bei Wandstärke $\delta$ ist also $L=\delta/2$ . Die Temperaturleitfähigkeit a lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$a=\frac{\lambda}{c\ast\rho}$

Die berechnete Fourier-Zahl muss kleiner gleich Fo* sein, damit für weitere Berechnungen das Modell des halbunendlichen Körpers herangezogen werden kann. Die wichtigsten und häufigsten Fo*-Werte: Bei der Platte ist Fo* = 0,10 , beim Zylinder 0,06 und bei der Kugel 0,04.

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Fourier-Zahl und Temperaturleitfähigkeit

Um in diesem Modell auf den Temperaturverlauf sowie die Wärmestromdichte bei der instationären Wärmeleitung im Körper zu kommen, brauchst du wieder die dimensionslose Temperatur $\Theta$ und dieses Mal die Orts-Zeit-Koordinate $\mu$ . Da die Temperatur hier sowohl zeit- wie auch ortsabhängig ist, lässt sich $\Theta$ berechnen mit:

$\Theta\ =\ \frac{T\left(x,t\right)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}$

Die Formel für die Orts-Zeit-Koordinate lautet:

$\mu\ =\ \frac{x}{2\sqrt{a\ast t}}$

Instationäre Wärmeleitung – Randbedingungen

Nun kennst du neben der Biot-Zahl auch die Fourier-Zahl, doch leider reichen diese beiden Formeln noch nicht ganz aus, um den Temperaturverlauf bestimmen zu können. Es hängt nämlich von den drei unterschiedlichen Randbedingungen ab, wie du vorzugehen hast.

Randbedingung Temperatur

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Randbedingung Temperatur

Bei der ersten Randbedingung ist die Temperatur an der Wand des Körpers bekannt. Die Formel für den Temperaturverlauf lautet hier:

$T\left(x,t\right)\ =\ T_{W}\ +\ \left(T_{0}-T_{W}\right)\ast erf\left(\mu\right)$

und die Formel für die Wärmestromdichte:

$\dot{q}\left(x,t\right)\ =\ -\lambda\ast\frac{T_{0}-T_{W}}{\sqrt{\pi\ast a\ast t}}\ast exp\left(-\mu\right)$

Jetzt fragst du dich sicher, was das erf bedeutet. Das ist die sogenannte „error function“, beziehungsweise Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion.

Randbedingung Wärmestromdichte

Bei der Randbedingung zweiter Art ist die Wärmestromdichte am Rand bekannt. Die Formel lautet hier:

$T\left(x,t\right)=\ T_{0}\ +\ \frac{\dot{q}_{W}}{\lambda}\ \ast\left(2\ast\sqrt{\frac{a\ast t}{\pi}}\ \ast\ exp\left(-\left(\mu\right)^2\right)-x\ast\ erfc\left(\mu\right)\right)$

$\dot{q}\left(x,t\right)\ =\ \dot{q}_{W}\ \ast erfc\left(\mu\right)$

Dabei ist erfc die komplementäre Fehlerfunktion und ergibt sich aus erfc=1-erf .

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Randbedingung Wärmestromdichte

Randbedingung Wärmeübergangskoeffizient

Zu guter Letzt in Bezug auf die instationäre Wärmeleitung gibt es noch die Randbedingung 3. Art, bei der der Wärmeübergangskoeffizient $\alpha$ und die Umgebungstemperatur $T_\infty$ bekannt sind. Den Temperaturverlauf kannst du hier mit folgender Formel berechnen:

$T(x,t)\ =\ T_{\infty}\ +\ (T_{0}-T_{\infty})\ast[erf(\mu)+exp(\tau\alpha+2\ast\sqrt{\tau\alpha}\ast\mu)\ast erfc(\sqrt{\tau\alpha}+\mu)]$

Auf die Wärmestromdichte kommst du mit:

$\dot{q}\left(x,t\right)\ =\ -\alpha\ast+\left(T_{0}-T_{\infty}\right)\ast\left[exp\left(\tau\alpha+2\ast\sqrt{\tau\alpha}\ast\mu\right)\ast erfc\left(\sqrt{\tau\alpha}+\mu\right)\right]$

Instationäre Wärmeleitung, Biot-Zahl, Fourier-Zahl — Randbedingung Wärmeübergangskoeffizient

Jetzt hast du es geschafft und weißt bestens Bescheid über die instationäre Wärmeleitung sowie die Biot-Zahl und die Fourier-Zahl. Zudem weißt du nun auch, wie man den Temperaturverlauf mithilfe der Biot-Zahl und der Fourier-Zahl berechnen kann.

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