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Warteschlangentheorie – M|M|1-Modell

Die Warteschlangentheorie beschäftigt sich mit der Analyse von Materialflüssen oder Bedienprozessen von Aufträgen. Es kann beispielsweise festgestellt werden, wie viele Aufträge gerade bearbeitet werden oder wie lange die Aufträge durchschnittlich im Bearbeitungssystem benötigen. Wir zeigen dir in unserem Beitrag, wie du das Grundmodell Schritt für Schritt ganz einfach berechnen kannst.

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Inhaltsübersicht

Warteschlangentheorie

Die Warteschlangentheorie liefert dir Informationen darüber, wie viele Kunden sich im System befinden, wie hoch ihre Wartezeiten sind und wie stabil das Wartesystem ist. Es ist also allgemein gesprochen eine Analyse der Bedienungssysteme, weshalb man die Warteschlangentheorie auch als Bedientheorie bezeichnet. Ein Wartesystem besteht im Grundsatz aus zwei Elementen: dem Bedienbereich, in welchem die Aufträge bearbeitet werden, und dem Warteraum, in dem die eingegangenen Aufträge auf ihre Bedienung warten. Sobald ein Auftrag bearbeitet und abgeschlossen wurde verlässt dieser das System und wird in der Warteschlangentheorie nicht mehr berücksichtigt. Das ist dir alles noch ein wenig zu abstrakt? Dann lass uns gemeinsam ein Beispiel dazu anschauen.

Warteschlangentheorie Beispiel

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Wir beschäftigen uns im Folgenden Beispiel mit dem Grundmodell M|M|1, dem einfachsten Modell der Warteschlangentheorie. Das „M“ steht hier für Markov und die damit verbundene Exponentialverteilung der Ankunfts- und Bearbeitungsprozesse. Das bedeutet, dass beide Prozesse zufällig und unabhängig voneinander sind. Die Zahl „1“ bezeichnet die Anzahl der Maschinen. Am Beispiel eines Unternehmens, das Liegestühle produziert, zeigen wir dir, wie du alle wichtigen Parameter für das Warteschlangenmodell berechnen kannst.

Warteschlangentheorie Formeln: Ankunftsrate berechnen

Bei der Produktion der Liegestühle gibt es eine Maschine, die den Stoff auf das Holzgestell des Liegestuhls spannt. Sie kann dabei nur ein Holzgestell zur gleichen Zeit bespannen. Die Aufträge kommen im Modell der Warteschlangentheorie zufällig mit folgender Ankunftsrate an:

$\lambda=\frac{Auftr\"age}{Zeiteinheit}$

Wir wissen, dass 32 Holzgestelle am Tag zur Maschine kommen. Dann beträgt unsere Ankunftsrate also 32 Aufträge pro Tag. Hier musst du immer darauf achten welche Zeiteinheit dir gegeben ist.

Warteschlangentheorie: Ankunftsrate berechnen

Gehen wir davon aus, dein Chef gibt dir vor, dass eine Zeiteinheit eine Stunde beträgt. Wird in der Werkstatt acht Stunden pro Tag gearbeitet, kommen wir dann auf eine Ankunftsrate von vier Aufträge pro Stunde.

Durchschnittliche Zeit zwischen Ankünften berechnen

Kennen wir die Ankunftsrate, können wir auch die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Ankünften berechnen, die wir in der Warteschlangentheorie ebenfalls benötigen. Die Formel dazu lautet: $\frac{1}{\lambda}$ . In unserem Beispiel kommen wir auf $\frac{1}{4}$ Stunden. Es kommt also durchschnittlich jede viertel Stunde ein Holzgestell zur Maschine.

Bearbeitungsrate und Bearbeitungsdauer in der Wartschlangentheorie berechnen

Wie viele Aufträge die Maschine in einer bestimmten Zeiteinheit im Modell der Warteschlangentheorie bearbeiten kann, gibt die Bearbeitungsrate $\mu$ an. Die mittlere Bearbeitungsdauer eines Auftrags ist dementsprechend $\frac{1}{\mu}$ . Dabei musst du wieder beachten, welcher der beiden Werte dir gegeben ist. Die Einheit ist dabei ein guter Hinweis. Wissen wir, dass unsere durchschnittliche Bearbeitungszeit $\frac{1}{6}$ Stunden pro Auftrag beträgt, kennen wir also die mittlere Bearbeitungsdauer. Mit dieser können wir nun ganz einfach die Bearbeitungsrate berechnen und kommen auf sechs Aufträge in der Stunde.

Warteschlangenmodell: Bearbeitungsrate und Bearbeitungsdauer

Wie du siehst, kommen weniger Holzgestelle pro Stunde an der Maschine an, als bearbeitet werden können. Es bildet sich aber trotzdem eine Warteschlange, da die Aufträge nur durchschnittlich jede viertel Stunde an der Maschine ankommen.

Auslastungsgrad berechnen

Eine weitere wichtige Formel in der Warteschlangentheorie ist die für den Auslastungsgrad $\rho$ , der in Prozent angegeben wird. Sie lautet:

$\rho=\frac{\lambda}{\mu}$

Du benutzt sie, wenn du herausfinden möchtest, wie sehr die Maschine ausgelastet ist. Achte immer darauf, dass du für $\lambda$ und $\mu$ die gleichen Einheiten verwendest. In unserem Beispiel beträgt die Maschinenauslastung ungefähr Prozent.

Warteschlangentheorie: Auslastung

Das bedeutet also, dass sich die Maschine pro Stunde 40 Minuten in Betrieb befindet und 20 Minuten stillsteht. Bei der Berechnung des Auslastungsgrades musst du auch beachten, dass er nicht größer als eins sein kann. Eine Voraussetzung in der Warteschlangentheorie ist also, dass die Ankunftsrate kleiner als die Bearbeitungsrate sein muss. Die Voraussetzung ist bei uns gegeben.

Durchlaufzeit berechnen

Jetzt kennst du schon die Grundlagen der Warteschlangentheorie und kannst nun alle wichtigen Ergebnisgrößen berechnen. Dabei sind alle Größen Zufallsvariablen, die sich laufend verändern. Außerdem werden sie als Erwartungswerte verwendet. Beginnen wir mit der Durchlaufzeit DLZ im Warteschlangenmodell. Die Formel zur Durchlaufzeit lautet:

$\bar{DLZ}=\frac{1}{\mu-\lambda}$

Betrachten wir unser Beispiel, hat ein Holzgestell also eine durchschnittliche Durchlaufzeit von einer halben Stunde.

Wartezeit berechnen

Nach der Berechnung der Durchlaufzeit geht’s mit der Berechnung der Wartezeit eines Auftrags weiter. Diese ergibt sich, indem du die durchschnittliche Bearbeitungszeit von der Durchlaufzeit abziehst.

$\bar{W}=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}$

Warteschlangentheorie: Wartezeit berechnen

Da wir die Durchlaufzeit ja schon kennen, können wir den ersten Weg wählen und erhalten eine durchschnittliche Wartezeit von $\frac{1}{3}$ h pro Holzgestell.

Warteschlangenlänge berechnen

Eine weitere Ergebnisgröße im Warteschlangenmodell ist die Länge . Wir berechnen hier die Anzahl der wartenden Aufträge. Kennst du bereits die Wartezeit, kannst du ihren Wert einfach mit der Ankunftsrate $\lambda$ multiplizieren, um die Warteschlangenlänge herauszufinden. Dementsprechend sieht die Formel so aus:

$\bar{Q}=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}$ .

Betrachten wir unser Beispiel, kommen wir durchschnittlich auf ungefähr 1,33 Holzgestelle, die sich in der Warteschlange befinden.

Work in Progress – WIP berechnen

Möchtest du jetzt wissen, wie viele Aufträge sich insgesamt im System befinden, musst du neben den wartenden Aufträgen auch die Aufträge berücksichtigen, die in Bearbeitung sind. Das bezeichnet man im Warteschlangenmodell als Work in Progress (WIP). Die Anzahl aller Aufträge erhältst du, wenn du die Durchlaufzeit mit $\lambda$ multiplizierst. Die Formel lautet also:

$\bar{A\ }=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}$

Warteschlangentheorie

Kommen wir auf unsere Liegestühle zurück, befinden sich durchschnittlich zwei Aufträge im System. Jetzt hast du die vier wichtigsten Ergebnisgrößen der Warteschlangentheorie kennengelernt. In diesem Schema findest du nochmal alle Formeln und Zusammenhänge übersichtlich dargestellt. Am besten prägst du es dir gut ein. So kannst du alle fehlenden Werte im Handumdrehen berechnen.

Wahrscheinlichkeit berechnen

Nun gibt es in der Warteschlangentheorie noch eine weitere Ergebnisgröße, P_i , die du auch kennen solltest. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich genau Aufträge im System befinden. Nehmen wir an, dein Chef will wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass sich zwei Holzgestelle im System befinden. In einem ersten Schritt musst du immer die Wahrscheinlichkeit herausfinden, dass sich null Aufträge im Warteschlangenmodell befinden. Dafür benötigst du nur die Auslastung $\rho$ . Die Formel lautet:

$P_0=1-\rho$

Warteschlangentheorie: Wahrscheinlichkeiten

In unserem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit also ungefähr 33 Prozent. In einem zweiten Schritt kannst du diese Formel anwenden:

$P_i=P_0\ \ast\ \rho^i$

Setzen wir unsere Werte ein, erhalten wir 0,1481 . Die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Holzgestelle im System befinden, ist also ungefähr 14,81 Prozent.

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