Video

Anfangswertproblem

Du möchtest wissen, was es mit dem Anfangswertproblem auf sich hat, wann es eintritt und wie es sich lösen lässt? In diesem Beitrag erklären wir es dir.

Inhaltsübersicht

Lösen einer Differentialgleichung mithilfe der e-Funktion

Wenn du eine Differentialgleichung löst, erhältst du zunächst eine allgemeine Lösung. Nehmen wir an, wir haben die folgende Differentialgleichung gegeben:

$y=y^\prime$

Diese Gleichung wird gelöst durch die Exponentialfunktion, denn hier ist die Funktion genau gleich, wie ihre Ableitung:

$y\left(x\right)=e^x$
$y'\left(x\right)=e^x$

Also löst die e-Funktion die Differentialgleichung. Aber ist das die einzige Lösung?

Anfangswertproblem, Anfangswertproblem lösen, Differentialgleichung — Lösen einer DGL mithilfe der Exponentialfunktion

Wenn man den Lösungsansatz

$y\left(x\right)=3e^x$

wählt, ergibt sich die Ableitung:

$y'\left(x\right) = 3e^x$

Das neue y löst die Differentialgleichung ebenso. Du kannst die e-Funktion sogar mit einer beliebigen Konstante multiplizieren

$y\left(x\right)=Ce^x$

und erhältst unendlich viele Lösungen beziehungsweise die allgemeine Lösung.

Bestimmen eines Anfangswerts

Um jetzt die eindeutige Lösung bestimmen zu können, benötigst du noch einen Anfangswert. Der könnte

$y\left(0\right)=1$

sein. Anfangswert bedeutet, dass man den Anfangszustand kennt. Es gibt viele Differentialgleichungen in Zeit, bei denen die Beschreibung eines Phänomens ab dem Zeitpunkt Null läuft.

Anfangswertproblem, Anfangswertproblem lösen, Differentialgleichung — Anfangswertproblem

Wir setzen zunächst in die allgemeine Lösung ein

$y\left(0\right)=Ce^0$

Wie du weißt ist e^0=1 somit ergibt sich:

$y\left(0\right)=Ce^0=C$

Dann setzen wir dies mit dem Anfangswert gleich.

$y\left(0\right)=Ce^0=C=1$

Aufgelöst nach C

C=1

ergibt sich C ist gleich Eins.

Grafische Veranschaulichung und Eindeutige Lösung

Schauen wir uns am besten ein paar Lösungskurven an. Dann zeichnen wir den Anfangswert ein: x = 0 und y = 1. Nun wissen wir, dass die Lösungskurve, die durch unseren Anfangswert geht, unsere eindeutige Lösung ist.

Anfangswertproblem, Anfangswertproblem lösen, Differentialgleichung — Grafische Ermittlung der eindeutigen Lösung

Wenn du eine Differentialgleichung höherer Ordnung löst, brauchst du entsprechend viele Anfangswerte. Eine DGL n-ter Ordnung bedarf n Anfangswerte.

$f\left(x,y,y^\prime,\ldots,y^{\left(n\right)}\right)=0$
$y\left(0\right)=C_0$
$y^\prime\left(0\right)=C_1$
$\vdots$
$y^{(n-1)}\left(0\right)=C_{n-1}$

Anfangswertproblem, Anfangswertproblem lösen, Differentialgleichung — Eine DGL n-ter Ordnung bedarf n Anfangswerte

Eine Differentialgleichung zusammen mit ihren Anfangsbedingungen heißt Anfangswertproblem.

Super. Jetzt kennst du dich mit Anfangswertproblemen aus, weißt, was sie grafisch bedeuten und wie viele Anfangsbedingungen du bei Differentialgleichungen höherer Ordnung benötigst.

Beliebte Inhalte aus dem Bereich Mathe für Ingenieure

Intro Differentialgleichung - Grundbegriffe

Gewöhnliche DGL

DGL 1. & 2. & höherer Ordnung

Homogene & inhomogene DGL

Lineare & nichtlineare DGL

Anfangswertproblem

Randwertproblem

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte .