Poisson Gleichung
Die Poisson Gleichung ist ein weiteres Beispiel partieller Differentialgleichungen. In diesem Beitrag erklären wir dir, was sie bedeutet und wie du sie lösen kannst.
Inhaltsübersicht
Lösen der Poisson-Gleichung auf dem Einheitsquadrat
Die Poisson Gleichung wird auch Membrangleichung genannt. Sie eignet sich dafür, die stationäre Auslenkung, also den Gleichgewichtszustand, einer Membran unter Belastung zu beschreiben. Sie ist genau wie die Laplace-Gleichung eine elliptische Differentialgleichung. In diesem Beitrag lösen wir die Poisson-Gleichung auf dem Einheitsquadrat.
$-\Delta u\left(x\right)=f(x)$
Wir wollen die zweidimensionale Poisson-Gleichung auf dem Einheitsquadrat lösen.
$-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y)$
$x\in\Omega=\left(0,1\right)^2$
Am Rand fordern wir homogene Dirichlet-Randbedingungen, die einer festen Einspannung der Membran entsprechen.
$u\left(x\right)=0,\ \ x\in\partial\Omega$
Wir wollen die Poisson-Gleichung auf Sturm-Liouville-Probleme zurückführen und die Lösung dann durch einen Fourierreihenansatz konstruieren. Dafür suchen wir nach Eigenwerten und Eigenfunktionen der Gleichung, indem wir $f\left(x,y\right)=1$ durch $\lambda$ ersetzen.
$\bigm-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\lambda\ u$
Du wirst später sehen, warum wir das machen und dass wir auf $f\left(x,y\right)$ zurückkommen. Wie diese Funktion genau aussieht, spielt keine Rolle. Wir können später eine beliebige einsetzen.
Produktansatz anwenden
Jetzt wählst du den Produktansatz
$u\left(x,y\right)=X\left(x\right)Y(y)$
$X (x)$ $Y (y)$ für $u$,
$-Y\frac{\partial^2X}{\partial x^2}-X\frac{\partial^2Y}{\partial y^2}=\lambda\ XY$
setzt ihn in die Gleichung ein und teilst die Gleichung durch X mal Y.
$-\frac{X_{xx}}{X}-\frac{Y_{yy}}{Y}=\lambda$
Schau dir die entstehende Gleichung jetzt genau an. Ein Term ist nur von x und der zweite nur von y abhängig. Das bedeutet, dass beide Terme konstant sein müssen und in Summe Lambda ergeben.
$-a-b=\lambda$
Es ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen
$\frac{X_{xx}}{X}=a$
$\frac{Y_{yy}}{Y}=b$
Aus den Randbedingungen folgt, dass
$X\left(0\right)=X\left(1\right)=0$
sind und
$Y\left(0\right)=Y\left(1\right)=0$
sind.
Sturm-Liouville-Problem lösen
Jetzt können wir die eindimensionalen Probleme lösen. Sie sind sogar symmetrisch. Also reicht es eins der beiden Probleme zu lösen. Die Lösung gilt dann für beide.
$X_m\left(x\right)=\sin{(m\pi x)},\ \ a_m=-m^2\pi^2,\ m\in\mathbb{N}$
$Y_n\left(y\right)=\sin{(n\pi y)},\ \ b_n=-n^2\pi^2,\ n\in\mathbb{N}$
Damit ergeben sich die Eigenwerte Lambda zu
$\lambda_{m,n}=-a_m-b_n=\left(m^2+n^2\right)\pi^2$
Du erinnerst dich: Lambda ist die negative Summe von a und b. Die entsprechenden Eigenfunktionen
$u_{m,n}\left(x,y\right)=\sin{(m\pi x)}\sin{(n\pi y)}$
sind das Produkt aus den Lösungen. Die allgemeine Gesamtlösung ergibt sich aus allen Linearkombinationen der Eigenfunktionen, ist also die Summe über m und n.
$u\left(x,y\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}{c_{m,n}\sin{(m\pi x)}\sin{(n\pi y)}}$
Jetzt kommen wir zurück auf die Funktion f auf der rechten Seite der Differentialgleichung
$-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y)$
F hatten wir ja mit $\lambda u$ ersetzt (1). Jetzt können wir dafür die Lösungen einsetzen (2) und Lambda ausschreiben (3). M Quadrat plus n Quadrat mal Pi Quadrat mal $c_m_n$ ersetzen wir durch die Koeffizienten $f_{m,n}$ (4).
Das Ergebnis ist eine Fourierreihe, dessen Koeffizienten du über folgendes Integral berechnest.
$f_{m,n}=2\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{f\left(x,y\right)\sin{(m\pi x)}}\sin{(n\pi y)}dy\ dx}$
Anwenden an einer konkreten Funktion
Jetzt schauen wir uns mal eine konkrete Funktion f an.
$f\left(x,y\right)=1$
Davon bestimmen wir die Koeffizienten $f_m_n$. Wir beginnen bei $f_{1,1}$. Du kannst in der Koeffizientenformel $f\left(x,y\right)$ durch 1 ersetzen (1) und kannst die Integrale trennen: (1 -> 2) in das Integral über $\sin{\left(\pi x\right)}$ und das über $\sin{\left(\pi y\right)}$. Werten wir mal das Integral über den Sinus aus (3) und setzen für beide Integrale die Lösung ein (2-> 4). Es ergibt sich $\frac{8}{\pi^2}$.
Jetzt wollen wir ein paar Integrale für verschiedene m lösen.
Du erkennst ein Muster. Für gerade m verschwindet das Integral und für ungerade m ergibt sich $\frac{2}{m\ast\pi}$ für das Integral.
Für $f_m_n$ bedeutet das folgendes:
Daraus kannst du jetzt die Koeffizienten $c_m_n$ bestimmen,
$c_{m,n}=\frac{f_{m,n}}{\left(m^2+n^2\right)\pi^2}$
die du in die allgemeine Lösung
$u\left(x,y\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}{c_{m,nsin}\left(m\pi x\right)\sin{\left(n\pi y\right)}}$
einsetzt, wenn du m und n substituierst.
$m=2\widetilde{m}$
$n=2\widetilde{n}$
Da nur die geraden $\widetilde{m}$ und $\widetilde{n}$ Anteile in der Lösung haben, kannst du die Lösung wieder übersichtlich als Summe schreiben.
$u\left(x,y\right)=\sum_{\widetilde{m}=1}^{\infty}\sum_{\widetilde{n}=1}^{\infty}\frac{\sin{(2\widetilde{m}\pi x)}\sin{(2\widetilde{n}\pi y)}}{2\left({\widetilde{m}}^3\widetilde{n}+{\widetilde{n}}^3m\right)\pi^4}$
Jetzt weißt du auch, wie du die Poisson-Gleichung auf dem Einheitsquadrat mithilfe von Eigenwerten und Eigenfunktionen und einem Fourierreihenansatz löst. Damit hast du all unsere Beiträge zum Thema partielle Differentialgleichungen gelesen und hast diese hoffentlich verstanden.