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Entropie-Übung / Entropieänderung

Du hattest sicher schon einmal einen Platten am Fahrrad und musstest deshalb eine Luftpumpe verwenden. Was diese mit der Entropieänderung zu tun hat und wie du die entsprechende Entropieänderung berechnen kannst, erfährst du im Folgenden.

Inhaltsübersicht

Wie lässt sich eine Entropieänderung berechnen?

Du kennst sicherlich bereits die allgemeine Entropiebilanz:

$\frac{dS}{dt}=\ \sum{\dot{m}s}+\sum\frac{\dot{Q}}{T}+{\dot{S}}^{irr}$

Diese Entropiebilanz trifft auch auf eine Fahrradpumpe zu, die zu den Verdichtern oder Kompressoren zählt, was einen wichtigen Aspekt für die Entropieänderung darstellt.

Ein Verdichter stellt einen irreversiblen Zustand dar. Dies erkennst du an dem ${\dot{S}}^{irr}$ . Er hat prinzipiell die Aufgabe den Druck zu erhöhen, indem er dem System technische Leistung zuführt. Du weißt ja, dass ein Elektromotor dann gerne einmal heiß wird. Deshalb wird der Verdichter mit Hilfe von Umgebungsluft gekühlt.

Entropieänderung, Entropieänderung berechnen — Allgemeine Entropiebilanz

Entropieänderung anhand eines Verdichters erklärt

Wir betrachten zur Erklärung der Entropieänderung jetzt einen Verdichter, den Luft mit einem Massenstrom von 0,5 Kilogramm pro Sekunde durchfließt. Die Luft hat dabei zu Beginn die Temperatur T_1 gleich 320 Kelvin und einen Druck P_1 von 0,1 Megapascal. Der Verdichter arbeitet isotherm, also ohne Temperaturänderung. Er verdichtet auf einen Druck P_2 von 0,7 Megapascal, wobei er dafür eine Leistung P_t von 100 Kilowatt benötigt. Die Umgebungsluft hat eine Temperatur von 298,15 Kelvin. Die Molmasse von Luft beträgt 28,949 Gramm pro Mol.

Entropieänderung, Entropieänderung berechnen — Entropieänderung beim Verdichter – Beispiel

Entropieänderung bei Reibung und Wärmeübergang

Um die Entropieänderung berechnen zu können, wollen wir jetzt herausfinden, wie viel Entropie durch Reibung und den Wärmeübergang produziert wird. Dafür machen wir eine Entropiebilanz um den gesamten Verdichter. Das heißt, wir haben ein- und austretende Massenströme sowie einen Wärmestrom nach außen und natürlich die irreversible Entropieproduktion.

$\frac{dS}{dt}=\ \sum{\dot{m}s}+\sum\frac{\dot{Q}}{T}+{\dot{S}}^{irr}\rightarrow\ \frac{dS}{dt}=\ {\dot{m}}_1s_1-{\dot{m}}_2s_2-\frac{\dot{Q}}{T}+{\dot{S}}^{irr}$

Da wir den Verdichter mit einem konstanten Massenstrom durchfließen und der Wärmestrom auch als konstant angesehen werden kann, können wir einen stationären Fließprozess annehmen. Dadurch wird $\frac{ds}{dt}$ zu null. Weiterhin ist der Massenstrom beim Eintreten natürlich derselbe wie beim Austritt:

${\dot{m}}_1={\dot{m}}_2=\dot{m}$

Damit können wir die Entropiebilanz zusammenfassen zu:

$0=\ \dot{m}\left(s_1-s_2\right)-\frac{\dot{Q}}{T}+{\dot{S}}^{irr}$

und anschließend nach ${\dot{S}}^{irr}$ umstellen:

${\dot{S}}^{irr}=\dot{m}\left(s_2-s_1\right)+\frac{\dot{Q}}{T}$

Entropieänderung, Entropieänderung berechnen — Entropiebilanz und Massenströme

Entropieänderung durch Verdichter

Jetzt müssen wir also nur noch die Entropie vor und nach dem Verdichter sowie den Wärmestrom bestimmen und kennen dann die Entropieproduktion.
Die Entropieänderung berechnen können wir mit:

$s_2-s_1=c_p\ln{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}-\frac{R}{M}\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}$

Nun verdichten wir isotherm. Das heißt: T_2 ist gleich T_2 . Damit wird der Bruch zu eins. Zudem weißt du bestimmt, dass der $\ln{(1)}$ immer null ist. Wir können ihn also streichen.

Entropieänderung, Entropieänderung berechnen — Entropieänderung

Jetzt fehlt nur noch der Wärmestrom. Den erhalten wir aus einer Energiebilanz um das System.

$\frac{dE}{dt}=0=\dot{m}\left(h_1-h_2\right)-\dot{Q}+P_t$

Zur Berechnung der Entropieänderung benötigen wir die Änderung der Energie, welche wieder null ist, da wir davon ausgehen können, dass der Prozess stationär abläuft. Die Enthalpie-Differenz erhalten wir aus der kalorischen Zustandsgleichung:

$h_2-h_1=cp\left(T_2-T_1\right)$

Da wir isotherm verdichten, ist die Enthalpie-Differenz gleich null. Wir erhalten für den Wärmestrom:

$\dot{Q}=P_t$

Setzen wir das in unsere Entropiebilanz ein, erhalten wir:

${\dot{S}}^{irr}=\dot{m}\left(s_2-s_1\right)+\frac{\dot{Q}}{T}=-\dot{m}\frac{R}{M}\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}+\frac{P_t\ }{T}$

Entropieänderung, Entropieänderung berechnen — Entropieänderung berechnen

Jetzt haben wir aber zwei Temperaturen und wissen nicht genau, welche wir verwenden sollen. Dafür gibt es eine ganz einfache Regel: Wir nehmen immer die Temperatur, bei der unser Wärmestrom über die Grenze tritt. Wir haben die Grenze um den ganzen Verdichter gelegt. Das heißt, der Wärmestrom tritt über die Grenze, wenn er außerhalb des Verdichters ist. Damit ist die Temperatur, mit der der Wärmestrom über die Grenze tritt, genau unsere Umgebungstemperatur T_U . So erhalten wir für ${\dot{S}}^{irr}$ :

${\dot{S}}^{irr}=-\dot{m}\frac{R}{M}\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}+\frac{P_t\ }{T_u}=55,97\frac{W}{K}$

Entropieänderung, Entropieänderung berechnen — Entropiebilanz und Wärmestrom

Die irreversible Entropieproduktion ist größer null und verstößt somit nicht gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Allerdings sorgt das dafür, dass der Verdichter nicht reversibel betrieben werden kann.

Endlich bist du bestens darüber informiert, wie man die Entropieänderung berechnen kann und bei der nächsten Fahrradtour kannst du deinen Freunden gleich erklären, was die Luftpumpe mit der Entropieänderung zu tun hat.

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