Wie erkenne ich sicher, welche Seite im Dreieck die Hypotenuse ist?

Du erkennst die Hypotenuse sicher daran, dass sie im rechtwinkligen Dreieck der Seite gegenüber dem rechten Winkel liegt und gleichzeitig die längste Seite ist. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Beispiel: Liegt der 90°-Winkel zwischen zwei Seiten, ist die dritte Seite die Hypotenuse.

Wann darf ich den Satz des Pythagoras nicht benutzen?

Den Satz des Pythagoras darfst du nicht benutzen, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist, also keinen 90°-Winkel hat. Dann gilt nicht. Beispiel: Hat ein Dreieck nur Winkel wie 60°, 60°, 60°, liefert Pythagoras falsche Seitenlängen.

Welche Fehler passieren oft beim Wurzelziehen beim Satz des Pythagoras?

Häufige Fehler beim Wurzelziehen sind: Die Wurzel wird nur auf einen Teil angewendet oder das Quadrieren und Wurzelziehen wird verwechselt. Außerdem wird manchmal vergessen, dass eine Seitenlänge nicht negativ sein kann. Beispiel: Richtig ist , falsch wäre .

Was mache ich, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht?

Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, passt die Rechnung im Bereich der reellen Zahlen nicht zu einem Dreieck, weil Seitenlängen reell sein müssen. Das passiert meist durch falsches Einsetzen, Vertauschen von Hypotenuse und Kathete oder Rechenfehler. Beispiel: Bei muss gelten, sonst wird der Ausdruck negativ.

Wie prüfe ich mit dem Satz des Pythagoras, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Du prüfst ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit, indem du die längste Seite als nimmst und testest, ob gilt. Stimmt die Gleichung, ist der Winkel gegenüber von ein rechter Winkel. Beispiel: Bei Seiten 5, 12 und 13 gilt , also ist das Dreieck rechtwinklig.

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a² + b² = c²

Wichtige Inhalte in diesem Video

1. Hypotenuse c berechnen:

(00:16)

2. Kathete a berechnen:

(01:41)

Du fragst dich, wie du die Gleichung a² + b² = c² $umstellst? Hier erfährst du Schritt für Schritt, wie das funktioniert und was du dabei beachten musst. Schau dir auch unser Video dazu an!$

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Inhaltsübersicht

a² + b² = c² — einfach erklärt

Die Gleichung a² + b² = c² kennst du auch als den Satz des Pythagoras. Wenn du die Gleichung umstellst, kannst du damit die einzelnen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Dabei stehen a und b für die Katheten, also die beiden kürzeren Seiten. Die Hypotenuse c ist die längste Seite des Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel.

Das Bild zeigt ein Dreieck mit den Seiten a, b und c, wobei der markierte Innenwinkel zwischen den Seiten a und b hervorgehoben ist und so die Beziehung zwischen Seitenlängen und eingeschlossenem Winkel verdeutlicht. — rechtwinkliges Dreieck

Hier siehst du die umgestellten Formeln für die einzelnen Seiten:

Hypotenuse c berechnen: $\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$
Kathete a berechnen: $\textcolor{red}{\text{a}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$
Kathete b berechnen: $\textcolor{blue}{\text{b}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2}$

a² + b² = c²– Umstellen der Gleichung

Schau dir hier Schritt für Schritt an, wie du die Gleichung jeweils umformst:

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

1. Hypotenuse c $berechnen$ $:$

im Videozur Stelle im Video springen

(00:16)

Um die Formel nach c umzustellen, musst du nur auf beiden Seiten der Gleichung a² + b² = c² die Wurzel ziehen:

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 \quad | \quad \sqrt{\:}$

$\sqrt{\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2}=\textcolor{teal}{\text{c}}$

→ $\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$

Schau dir das mal an einem Beispiel an:

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten

Das Bild zeigt ein Dreieck mit den Seitenlängen a gleich drei Zentimeter und b gleich vier Zentimeter sowie einem markierten Innenwinkel zwischen diesen beiden Seiten, wobei die gesuchte Seite c mithilfe trigonometrischer Beziehungen ermittelt werden soll. — a²+b²=c² Beispiel 1

Die beiden Zahlen setzt du jetzt in die nach c umgestellte Formel ein:

$\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 + \textcolor{blue}{4}^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \textcolor{teal}5$

2. Kathete $berechnen:$

im Videozur Stelle im Video springen

(01:41)

Wenn du die Formel für die Kathete a haben willst, stellst du die Gleichung so um:

Schritt 1: Rechne auf beiden Seiten der Gleichung minus $:$

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 \quad | \quad - \textcolor{blue}{\text{b}}^2$

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2$

Schritt 2: Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2\quad | \quad \sqrt{\:}$

$\textcolor{red}{\text{a}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$

Schau dir dazu wieder ein Beispiel an:

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm und der Kathete b

Das Bild zeigt ein Dreieck mit den bekannten Seitenlängen b gleich acht Zentimeter und c gleich zehn Zentimeter sowie einem markierten Innenwinkel, wobei die fehlende Seite a bestimmt werden soll. — a²+b²=c² Beispiel 2

Die beiden Zahlen setzt du jetzt in die nach a umgestellte Formel ein: $\textcolor{red}{\text{a}} = \sqrt{\textcolor{teal}{10}^2 - \textcolor{blue}{8}^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = \textcolor{red}6$

3. Kathete $berechnen:$

Für die Kathete b stellst du die Gleichung ganz ähnlich um:

Schritt 1: Rechne auf beiden Seiten der Gleichung minus a $:$

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 \quad | \quad - \textcolor{red}{\text{a}}^2$

$\textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2$

Schritt 2: Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

$\textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2\quad | \quad \sqrt{\:}$

$\textcolor{blue}{\text{b}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2}$

Schau dir auch hierzu ein Beispiel an:

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $und a .$

Das Bild zeigt ein Dreieck mit den bekannten Seitenlängen a gleich acht Zentimeter und c gleich siebzehn Zentimeter sowie einem markierten Innenwinkel, während die fehlende Seite b berechnet werden soll. — a²+b²=c² Beispiel 3

Die beiden Zahlen setzt du jetzt in die nach b umgestellte Formel ein:

$\textcolor{blue}{\text{b}} = \sqrt{ \textcolor{teal}{17}^2 - \textcolor{red}8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = \textcolor{blue}{15}$

Achtung: Einheiten beachten

Achte darauf, dass alle Seitenlängen in denselben Einheiten angegeben sind. Wenn nicht, musst du sie umrechnen.

Beispiel: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten

Es gilt 0,09 m = 9 cm, da 100 cm ein Meter sind.

Also setzt du a = 9 und b = 12 in deine nach c umgestellte Formel ein:

$\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{9}^2 + \textcolor{blue}{12}^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = \textcolor{teal}{15}}$

c ist also 15 cm lang.

a² + b² = c² — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich sicher, welche Seite im Dreieck die Hypotenuse ist?

Du erkennst die Hypotenuse sicher daran, dass sie im rechtwinkligen Dreieck der Seite gegenüber dem rechten Winkel liegt und gleichzeitig die längste Seite ist. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Beispiel: Liegt der 90°-Winkel zwischen zwei Seiten, ist die dritte Seite die Hypotenuse.
Wann darf ich den Satz des Pythagoras nicht benutzen?

Den Satz des Pythagoras darfst du nicht benutzen, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist, also keinen 90°-Winkel hat. Dann gilt nicht. Beispiel: Hat ein Dreieck nur Winkel wie 60°, 60°, 60°, liefert Pythagoras falsche Seitenlängen.
Welche Fehler passieren oft beim Wurzelziehen beim Satz des Pythagoras?

Häufige Fehler beim Wurzelziehen sind: Die Wurzel wird nur auf einen Teil angewendet oder das Quadrieren und Wurzelziehen wird verwechselt. Außerdem wird manchmal vergessen, dass eine Seitenlänge nicht negativ sein kann. Beispiel: Richtig ist $c=\sqrt{a^2+b^2}$ , falsch wäre $c=\sqrt{a^2}+b^2$ .
Was mache ich, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht?

Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, passt die Rechnung im Bereich der reellen Zahlen nicht zu einem Dreieck, weil Seitenlängen reell sein müssen. Das passiert meist durch falsches Einsetzen, Vertauschen von Hypotenuse und Kathete oder Rechenfehler. Beispiel: Bei $a=\sqrt{c^2-b^2}$ muss gelten, sonst wird der Ausdruck negativ.
Wie prüfe ich mit dem Satz des Pythagoras, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Du prüfst ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit, indem du die längste Seite als nimmst und testest, ob gilt. Stimmt die Gleichung, ist der Winkel gegenüber von ein rechter Winkel. Beispiel: Bei Seiten 5, 12 und 13 gilt , also ist das Dreieck rechtwinklig.

Satz des Pythagoras Aufgaben

Jetzt weißt du, wie du die Formel a² + b² = c² umstellst, um die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Wenn du noch mehr Übungen zum Satz des Pythagoras suchst, schau hier rein.

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