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Separationsansatz

Wenn du wissen willst, wie die pq Formel aussieht und wozu du sie benötigst, bist du in diesem Artikel genau richtig. Am Ende findest du auch einige Aufgaben zum selber Üben.

Du lernst leichter, wenn du Schritt für Schritt sehen kannst, wie du die pq-Formel anwendest? Dann schau dir am besten unser Video an.

Inhaltsübersicht

pq Formel einfach erklärt

Die pq-Formel ist eine der wichtigsten Formeln um quadratische Gleichungen dieser Art zu lösen:

x²+2x+1=0
-2x²-5x=x²+x-9
x²+4x=10

Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist somit definiert als

x²+px+q=0,

mit Parametern p und q. Wenn du diese Gleichung lösen willst, verwendest du dafür die pq Formel:

pq Formel

$x_{1,2} = -\cfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}$

Das bedeutet, du erhältst durch Einsetzen von p, und q im Allgemeinen zwei Lösungen

$x_1 = -\cfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}$

$x_2 =-\cfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}$ .

Diskriminante der pq Formel

Der Term $\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q$ unter der Wurzel der pq Formel wird Diskriminante genannt. Dabei wird niemand diskriminiert, das Wort kommt lediglich aus dem Lateinischen und bedeutet „unterscheiden“. Die Diskriminante gibt dir Auskunft darüber, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat. Das erkennst du ganz einfach an ihrem Vorzeichen.

Diskriminante der pq-Formel

$D=\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q$

$\left(\frac{p}{2}\right)^2-q >0$ : Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
$\left(\frac{p}{2}\right)^2-q =0$ : Die quadratische Gleichung hat eine Lösung
$\left(\frac{p}{2}\right)^2-q <0$ : Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

Berechnest du die Diskriminante einer quadratischen Funktion, so kannst du daran direkt die Anzahl der Nullstellen ablesen.

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Quadratische Gleichungen mittels pq-Formel berechnen

Willst du die pq-Formel zur Berechnung quadratischer Funktionen anwenden, dann befolgst du am besten die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung. Hierfür verwenden wir als konkretes Beispiel die quadratische Gleichung

2x²-4x = 30.

Schritt 1: Forme die Gleichung so um, dass auf eine der beiden Seiten die Null steht. Damit bringst du die quadratische Gleichung auf die allgemeine Form. Um die pq Formel anwenden zu können, darf vor dem x² jedoch kein Vorfaktor stehen, das heißt, teile die ganze Gleichung durch die Zahl vor dem x², hier die Zahl 2! Somit hast du die Gleichung auf Normalform gebracht

2x²-4x = 30 $\bigg| -30, \quad \div 2$

x²-2x – 15 =0

Schritt 2: Lies als nächstes die Koeffizienten p und q ab

p=-2, q=-15.

Schritt 3: Setze p und q in die pq-Formel ein

$x_{1,2} = -\cfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}$

$x_{1,2} = -\cfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right) ^2-(-15)}$ .

Schritt 4: Berechne die Ergebnisse

$x_{1,2} = -\cfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right) ^2-(-15)} = 1 \pm \sqrt{1+15}$

$\Longrightarrow$ x₁ =1+4= 5 und x₂ = 1-4=-3.

Schritt 5: Schreibe die Lösungsmenge auf

$\mathbb{L} = \{-3; 5\}$ .

Diese Anleitung zur Verwendung der pq-Formel kannst du für jede quadratische Gleichung benutzen, aber es gibt auch einige Sonderfälle, bei denen du die Lösung schneller ohne pqFormel berechnen kannst.

pq Formel ohne p

Ist in der quadratischen Gleichung p=0, so kannst du das Ergebnis zwar mithilfe der pqFormel berechnen, jedoch bist du vermutlich schneller, wenn du einfach die Wurzel ziehst. Der Term hat dann immer die Form

x²+q=0.

Du kannst ihn umformen, indem du nach x² auflöst und dann die Wurzel ziehst:

x^2 = -q

$x_{1,2} = \pm \sqrt{-q}$

Willst du beispielsweise x²-20,25=0 berechnen, so erhältst du als Ergebnis

x^2 = 20,25

$x_{1,2} = \pm \sqrt{20,25} = \pm 4,5$

$\Rightarrow x_1 = 4,5$ und x_2=-4,5.

pq Formel ohne q

Hast du dahingegen einen Term gegeben, bei dem q=0 ist, so löst du die Funktionsgleichung am besten durch Ausklammern. Dann kannst du die Nullstellen der beiden Faktoren separat bestimmen,

x²+px=0

x(x+p)=0

x₁ =0 und x₂ = -p.

pq-Formel Beispiele

In diesem Abschnitt zeigen wir dir drei verschiedene Beispiele, bei denen die pq-Formel jeweils unterschiedlich viele Lösungen liefert.

Beispiel 1: pq-Formel mit zwei Lösungen

Gegeben sei die quadratische Gleichung

x²=7x+8.

Um sie mithilfe der pq-Formel zu lösen, bringen wir sie zuerst auf Normalform

x²=7x +8 $\bigg| -7x, \quad -8$

x²-7x-8=0

Jetzt können wir die Parameter p=-7 und q=-8 bestimmen und sie in die pqFormel einsetzen

$x_{1,2} = -\cfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}$

$x_{1,2} = -\cfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-7}{2}\right) ^2-(-8)}$ .

Die beiden Lösungen x₁ und x₂kannst du nun ganz einfach ausrechnen

$x_{1,2} = -\cfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-7}{2}\right) ^2-(-8)} = 3,5 \pm \sqrt{\left(3,5\right) ^2+8} = 3,5 \pm \sqrt{20,25}$

$\Longrightarrow$ x₁ =3,5+4,5= 8 und x₂ = 3,5-4,5=-1.

$\Longrightarrow \quad \mathbb{L} = \{-1; 8 \}$ .

Beispiel 2: pq-Formel mit einer Lösung

Die pqFormel hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Ein Beispiel dafür ist die Gleichung

-2x²-20x-50=0.

Diese Gleichung liegt nicht in Normalform vor, da x²noch den Vorfaktor -2 besitzt. Daher teilen wir die quadratische Gleichung durch -2 und erhalten so die Normalform

x²+10x+25=0.

Nun können wir p=10 und q = 25 direkt ablesen und in die pqFormel einsetzen

$x_{1,2} = -\cfrac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right) ^2-25} =-5 \pm \sqrt{5^2-25} = -5 \pm 0 = -5$ .

Die Lösungsmenge besteht in diesem Fall nur aus einem Element $\mathbb{L}=\{-5\}$ .

Merke: Solche Gleichungen könntest du auch lösen, indem du die binomischen Formeln anwendest.

x²+10x+25= (x+5)²

Beispiel 3: pq Formel mit keiner Lösung

Als letztes Beispiel betrachten wir noch den Fall, dass die pqFormel keine Lösung liefert. Hier ist die Diskriminante stets kleiner als Null, was dazu führt, dass du eine negative Wurzel erhältst. Dafür betrachten wir

x²+2x+4=0

mit p=2 und q=4. Einsetzen der Werte in die pqFormel ergibt hier

$x_{1,2} = -\cfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right) ^2-4} = -1 \pm \sqrt{1^2-4} = -1 \pm \sqrt{-3}.$

Auch hier darfst du die Lösungsmenge nicht vergessen aufzuschreiben, obwohl es sich um die leere Menge handelt

$\mathbb{L}=\emptyset=\{\}.$

pq-Formel Herleitung

Vielleicht fragst du dich, woher die pqFormel eigentlich kommt. Dafür wollen wir eine quadratische Gleichung in Normalform mittels quadratischer Ergänzung nach x auflösen.

x²+px+q=0 $\bigg| -q$

x²+px=-q.

Die linke Seite wollen wir nun quadratisch ergänzen, weswegen wir zuerst den Ausdruck px umschreiben und dann auf beiden Seiten $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ addieren

$x^2+2 \frac{p}{2}x = -q$

$x^2+2 \frac{p}{2}x + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2-q$

Jetzt lässt sich die linke Seite der Gleichung mithilfe der ersten binomischen Formel vereinfachen

$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2-q$ ,

sodass wir im nächsten Schritt die Wurzel ziehen können und die pq Formel als Ergebnis erhalten

$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

$\Rightarrow x_{1,2} =- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$ .

pq Formel Aufgaben

Im Folgenden findest du verschiedene Aufgaben und Lösungen zum Thema pqFormel.

Aufgabe 1

Löse die Folgenden quadratischen Gleichungen, indem du die pqFormel verwendest:

a) x²+2x=-1

b) -x²+13x-30=0

Aufgabe 2

Gib jeweils an, wie viele Nullstellen die quadratischen Funktionen besitzen, ohne sie explizit mithilfe der pq-Formel auszurechnen:

a) f(x)=x²+4x+5

b) f(x)=x²+3x-4

Lösungen

Aufgabe 1

a) Um die quadratische Gleichung x²+2x=-1 mittels pq-Formel zu lösen, bringen wir sie zuerst auf Normalform

x²+2x+1=0.

Nun setzen wir p=2 und q=1 in die pqFormel ein

$x_{1,2} =- \frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-1} = -1 \pm \sqrt{1-1} = -1\pm 0$ .

Wir erhalten somit eine ein-elementige Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1\}$ .

b) Bei der Quadratischen Gleichung –x²+13x-30=0 ist Vorsicht geboten. Um sie auf Normalform zu bringen, musst du die komplette Gleichung mit (-1) multiplizieren

x²-13x+30=0.

Jetzt kannst du p=-13 und q=30 in die pq-Formel einsetzen und berechnest

$x_{1,2} =- \frac{-13}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-13}{2}\right)^2-30} = 6,5 \pm \sqrt{(-6,5)^2-30} = 6,5 \pm \sqrt{42,25-30}$ .

$= 6,5 \pm \sqrt{12,25} =6,5\pm 3,5.$

Somit erhältst du zwei Lösungen x₁ =6,5+3,5= 10 und x₂ = 6,5-3,5=3 und die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{3; 10\}$ .

Aufgabe 2

Um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen, betrachten wir die Diskriminante $D=\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q$ der pq-Formel.

a) Durch Einsetzen der Werte p=4 und q=5 in die Formel der Diskriminante, siehst du sofort, dass die zugehörige Parabel keine Nullstellen hat, da D<0, denn

$D=\left(\frac{4}{2}\right)^2-5 = 2^2-5 = 4-5 = -1 <0.$

b) In diesem Fall setzen wir p=3 und q=-4 in die Diskriminante ein und erhalten

$D=\left(\frac{3}{2}\right)^2-(-4) =1,5^2+4 = 6,25>0.$

Da D>0 ist, hat diese Parabel zwei Nullstellen.

Du sitzt an einer partiellen Differentialgleichung und weißt einfach nicht, wie du sie lösen sollst? Nimm doch den Separationsansatz! Wie der funktioniert, erklären wir dir in diesem Beitrag.

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