Wellengleichung

Wellengleichung lösen

Die Wellengleichung beschreibt die Ausbreitung von Wellen. Das können zum Beispiel Schallwellen, Wasserwellen oder elektromagnetische Wellen sein. Es handelt sich um eine hyperbolische Differentialgleichung. Die eindimensionale Wellengleichung sieht so aus:

$\partial_{tt}u\left(x,t\right)=c^2\partial_{xx}u\left(x,t\right)$

Die Funktion u beschreibt die Auslenkung der Welle, die sich in Raum und Zeit ändert. c ist die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit. Wir setzen den Produktansatz

$u\left(x,t\right)=X(x)\ast T(t)$

in die Differentialgleichung ein

$\partial_{tt}\left(X\left(x\right)T\left(t\right)\right)=c^2\partial_{xx}\left(X\left(x\right)T\left(t\right)\right)$

und ziehen die Terme, nach denen nicht abgeleitet wird, aus den Ableitungen.

$X\left(x\right)\partial_{tt}T(t)=c^2T\left(t\right)\partial_{xx}X(x)$

Als Nächstes schreiben wir die Gleichung kompakter

$X\left(x\right)T_{tt}(t)=c^2T\left(t\right)X_{xx}(x)$

und separieren alle x-Anteile und alle t-Anteile voneinander.

$\frac{T_{tt}\left(t\right)}{T\left(t\right)}=c^2\frac{X_{xx}\left(x\right)}{X\left(x\right)}$

Jetzt können wir beide Seiten der Konstanten $\lambda$ gleichsetzen

$\frac{T_{tt}\left(t\right)}{T\left(t\right)}=c^2\frac{X_{xx}\left(x\right)}{X\left(x\right)}=\lambda$

und erhalten zwei gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung

$\frac{T_{tt}\left(t\right)}{T\left(t\right)}=\lambda$

$\frac{X_{xx}\left(x\right)}{X\left(x\right)}=\frac{\lambda}{c^2}$

Werfen wir jetzt mal einen Blick auf die Randbedingungen.

$u\left(0,t\right)=0$

$u\left(L,t\right)=0$

Wir können aus den beiden Randbedingungen folgern, dass X von Null und X von Eins Null sind.

$u\left(0,t\right)=0\rightarrow\ X\left(0\right)=0$

$u\left(L,t\right)=0\rightarrow\ X\left(1\right)=0$

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Anfangsbedingungen Wellengleichung Formel

Die Anfangsbedingungen sehen wie folgt aus. Wir haben die Anfangsauslenkung und ihre Ableitung nach der Zeit gegeben.

$u\left(x,0\right)=\sin{\pi x}$

$\partial_tu\left(x,0\right)=\sin{2\pi x}$

Aber mit diesen beschäftigen wir uns später. Die x-abhängige Differentialgleichung und die Randbedingungen für groß X erinnern stark an die Wärmeleitungsgleichung.

$\frac{X_{xx}\left(x\right)}{X\left(x\right)}=\frac{\lambda}{c^2}$

Daher kürzen wir das Sturm-Liouville-Problem etwas ab und wählen direkt den Ansatz:

$\frac{\lambda}{c^2}<0$

Wir wählen wieder ein Alpha,

$-\alpha^2=\frac{\lambda}{c^2}$

um die Darstellung der Lösung übersichtlicher zu gestalten. In diese

$X\left(x\right)=c_1\cos{(\alpha x)}+c_2\sin{(\alpha x)}$

setzen wir die Randbedingungen für X ein.

$X\left(0\right)=c_1\cos{(\alpha\ast0)}+c_2\sin{(\alpha\ast0)}=c_1=0$

Aus X von Null folgt, dass $C_1$ gleich Null ist

$X\left(1\right)=c_2\sin{(\alpha)}=0$

Und der Sinus von Alpha muss ebenfalls Null sein

$\sin{(\alpha)}=0\leftrightarrow\ \alpha=n\pi,\ n\in\mathbb{N}$

Daher muss \alpha ein Vielfaches von n\pi sein. Für \lambda ergibt sich damit folgender Ausdruck.

$\lambda=-\alpha^2c^2=-n^2\pi^2c^2$

Dafür haben wir die Definition von $\alpha$ nach $\lambda$ umgestellt und $\alpha$ durch $n\pi$ ersetzt.

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Das Ergebnis für Lambda können wir jetzt auch in die Lösung für T einsetzen.

$\frac{T_{tt}\left(t\right)}{T\left(t\right)}=\lambda=-n^2\pi^2c^2$

$T_{tt}\left(t\right)=-n^2\pi^2c^2T\left(t\right)$

Imaginäre Eigenwerte

Das charakteristische Polynom sieht so aus

$\mu^2=-n^2\pi^2c^2$

und führt auf die Eigenwerte

$\mu_{1/2\ }=\pm\ i\ n\pi\ c$

Imaginäre Eigenwerte bedeuten, dass die Lösung eine trigonometrische Reihe ist, also aus Sinus- und Kosinus-Funktionen besteht.

$T\left(t\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cos{n\pi ct}+b_n\sin{n\pi ct}}$

Jetzt kannst du die Gesamtlösung zusammensetzen

$u\left(x,t\right)=\ X\left(x\right)\ast T\left(t\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{c_n\sin{n\pi x}(a_n\cos{n\pi ct}+b_n\sin{n\pi ct}})$

und die Konstanten zusammenfassen.

$u\left(x,t\right)=\ X\left(x\right)\ast \ T\left(t\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\sin{n\pi x}({\widetilde{a}}_n\cos{n\pi ct}+{\widetilde{b}}_n\sin{n\pi ct}})$

$C_n$ mal $a_n$ wird zu $\widetilde{a_n}$ und $c_n$ mal $b_n$ wird zu $\widetilde{b_n}$.

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Nun kannst du die Anfangsbedingungen einsetzen.

$u\left(0,x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\sin{n\pi x}({\widetilde{a}}_n\cos{(0)}+{\widetilde{b}}_n\sin{(0))}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\widetilde{a}}_n\sin{n\pi x}=\sin{\pi x}$

Vergleichst du die Koeffizienten, erhältst du ${\widetilde{a}}_1=1$ und die restlichen ${\widetilde{a}}_n=0$.
Um die Konstanten $\widetilde{b_n}$ Schalnge zu bestimmen, brauchen wir die zweite Anfangsbedingung. Wir leiten u nach t ab und setzen t gleich Null in die Ableitung ein

$u_t\left(0,x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{n\pi c\sin{n\pi x}(-{\widetilde{a}}_n\sin{(0)}+{\widetilde{b}}_n\cos{(0))}}=\sum_{n=1}^{\infty}{n\pi c\widetilde{b}}_n\sin{n\pi x}=\sin{2\pi x}$

Also ist

$2\pi\ c{\widetilde{b}}_2=1\rightarrow{\widetilde{b}}_2=\frac{1}{2\pi c}$

$2\pi c{\widetilde{b}}_2$ gleich Eins und $\widetilde{b_2}$ ergibt sich zu $\frac{1}{2\pi c}$. Die restlichen Koeffizienten sind ${\widetilde{b}}_n=0$
Die Gesamtlösung ist also diese hier:

$u\left(x,t\right)=\sin{\pi x}\cos{\pi ct}+\frac{1}{2\pi c}\sin{2\pi x}\sin{2\pi ct}$

Alle Konstanten $\widetilde{a}$ und $\widetilde{b}$ sind verschwunden. Achte unbedingt darauf, dass du auch in den Argumenten des Sinus und Kosinus alle n‘s einsetzt. Du hast den Separationsansatz erfolgreich auf eine weitere Differentialgleichung, die Wellengleichung, angewendet.