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Geometrische Reihe

Wichtige Inhalte in diesem Video

Geometrische Reihe einfach erklärt

Geometrische Reihe berechnen

Konvergenz geometrische Reihe – Beispiel

Geometrische Reihe Grenzwert

Du möchtest alles Wichtige über die geometrische Reihe erfahren? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du das Thema schnell verstehen möchtest, dann schau dir gleich unser Video an!

Inhaltsübersicht

Geometrische Reihe einfach erklärt

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Die geometrische Reihe ist eine Summe über einen Quotienten und hat im Allgemeinen die Form

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k$ .

Du kannst sehr schnell Aussagen über die Konvergenz einer geometrischen Reihe machen.

Geometrische Reihe Formel

Je nachdem, welche Zahl du für q hast, kannst du folgende Fälle unterscheiden

$\left| q \right| < 1$ : Die Reihe konvergiert und du kannst den Grenzwert mit der Formel $\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}$ berechnen.
$\left| q \right| \geq 1$ : Die Reihe divergiert.

Für den Quotienten kannst du verschiedene Brüche einsetzen, zum Beispiel $\frac{1}{2}$ , oder auch eine ganze Zahl wie die 4. Damit ergeben sich zum Beispiel die geometrischen Reihen

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^k$ und $\(\sum \limits_{k=0}^\infty 4^k$ .

Geometrische Reihe berechnen

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Schauen wir uns doch gemeinsam ein paar Beispiele an, wie eine geometrische Reihe aussehen kann.

Unendliche geometrische Reihe

In diesem Beispiel ersetzen wir das in der allgemeinen Form, durch den Bruch $\frac{1}{3}$ .

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k$

Es wird aber weiter bis ins Unendliche aufsummiert. Deshalb ist das ein Beispiel für eine unendliche geometrische Reihe. Weil der Quotient $\frac{1}{3}$ zwischen 0 und 1 liegt, also $\left| q \right| <1$ gilt, konvergiert diese Reihe.

Endliche geometrische Reihe

Natürlich gibt es auch endliche geometrische Reihen. Du kannst die Summation zum Beispiel nur bis 10 laufen lassen. Das ergibt in diesem Beispiel dann die Reihe

$\(\sum \limits_{k=0}^{10} (\frac{1}{3})^k$ .

Konvergenz geometrische Reihe – Beispiel

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Du sollst eine geometrische Reihe auf Konvergenz untersuchen? Kein Problem! Dazu benötigst du nur die Formel von oben und manchmal ein bisschen Geschick, um die gegebene Reihe umzuformen. Betrachte dazu folgendes Beispiel

$\(\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{2}{3^k}$ .

Schritt 1: Im ersten Schritt formst du die Reihe so um, dass du einen Quotienten erreichst, der k-mal potenziert wird. In diesem Beispiel kannst du die 2 aus dem Zähler auch als Faktor vor dem Bruch notieren und schlussendlich ganz vor die Summe ziehen.

$\(\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{2}{3^k} = \(\sum \limits_{k=1}^\infty 2 \cdot (\frac{1}{3})^k = 2 \cdot \(\sum \limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{3})^k$

Schritt 2: Sehr gut, jetzt muss die Reihe nur noch bei k=0 starten. Dafür überlegst du dir zunächst, wie das 0-te Glied aussieht. Setze gedanklich einfach mal k=0 ein.

$(\frac{1}{3})^0 = 1$

Dann kannst du die Reihe ab k=0 laufen lassen und das überflüssige Glied, also das 0-te, zum Schluss wieder abziehen.

$2 \cdot \(\sum \limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{3})^k = 2 \cdot \left( \left( \(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k \right) - \left( \frac{1}{3} \right) ^0 \right) = 2 \cdot \left( \left( \(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k \right) -1 \right)$

Jetzt hast du die allgemeine Form $\sum \limits_{k=0}^\infty q^k$ erreicht. Weil der Quotient in unserem Beispiel $q=\frac{1}{3}$ betragsmäßig kleiner als 1 ist, konvergiert die Reihe.

Geometrische Reihe Grenzwert

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Schau dir doch gleich das Beispiel von der Konvergenz noch einmal an.

$2 \cdot \left( \(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k -1 \right)$

Gerade eben hast du festgestellt, dass die Reihe konvergiert. Jetzt kannst du mit Hilfe der Formel

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}$

den Grenzwert berechnen. Dabei setzen wir in unserem Beispiel für den Bruch $\frac{1}{3}$ in die Formel ein und rechnen den Grenzwert aus.

$2 \cdot \left( \(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k -1 \right) = 2 \cdot \(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k - 2 = 2 \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{3}} -2 = \frac{2}{\frac{2}{3}} - 2 = 3-2 = 1$

Diese geometrische Reihe konvergiert also gegen 1.

Geometrische Summenformel

Die geometrische Summenformel begegnet dir, wenn du sogenannte Partialsummen einer geometrischen Reihe berechnen sollst. Die Partialsumme hängt immer von dem Wert ab, bis zu dem du summierst. Der wird meistens mit n bezeichnet. Die n-te Partialsumme ist dann die Summe aller Folgenglieder von 0 bis n und wird als s_n notiert.

$s_n = \(\sum \limits_{k=0}^n q^k$

Jetzt kommt die geometrische Summenformel ins Spiel. Damit kannst du nämlich die Partialsumme berechnen.

$s_n = \(\sum \limits_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Falls du noch mehr zur geometrischen Summenformel erfahren möchtest, dann schau dir unser Video dazu an.

Geometrische Reihe Konvergenz – Beweis

Du hast bereits geprüft, ob eine geometrische Reihe konvergiert und sogar schon den Grenzwert berechnet. Jetzt wollen wir uns nochmal genauer ansehen, wieso das so funktioniert. Dafür unterscheiden wir die beiden Fälle $\left| q \right| <1$ und $\left| q \right| \geq 1$ .

Fall $\left| q \right| <1$

Starte bei der allgemeinen Formel

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k$ .

Diese unendliche geometrische Reihe kannst du als Folge der Partialsummen auffassen, also die Partialsummen als Glieder einer Folge notieren. Damit schreibst du die Reihe um.

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k = \left( \(\sum \limits_{k=0}^n q^k \right)_{n \in \mathbb{N}}$

Jetzt kommt wieder die geometrische Summenformel ins Spiel, denn damit kannst du ja die Partialsummen berechnen.

$\left( \(\sum \limits_{k=0}^n q^k \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \right)_{n \in \mathbb{N}}$

Das bedeutet jetzt für die Konvergenz, dass die geometrische Reihe genau dann konvergiert, wenn die Folge $\left( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert. Und das ist wiederum genau dann der Fall, wenn die Folge $\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert.

Weil du aber den Fall $\left| q \right| <1$ betrachtest, konvergiert $\left( q^n \right)$ immer gegen 0. Und damit hast du gezeigt, dass die geometrische Reihe

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k$

im Fall $\left| q \right|<1$ konvergiert.

Die Formel für den Grenzwert bekommst du übrigens über die Summenformel, indem du den Grenzwert der Partialsummen betrachtest und ausnutzt, dass $\left| q \right| < 1$ .

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k = \lim_{n \to \infty} \(\sum \limits_{k=0}^n q^k = \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1-0}{1-q} = \frac{1}{1-q}$

Fall $\left| q \right| \geq 1$

Wenn $\left| q \right| \geq 1$ gilt, dann folgt daraus $\left| q^k \right| \geq 1$ für alle $k \in \mathbb{N}$ . Damit ist

$\left( q^k \right)_n \in \mathbb{N}$

keine Nullfolge mehr, konvergiert also nicht gegen 0. Das bedeutet dann auch, dass die geometrische Reihe

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty q^k$

divergiert. Stell dir zum Beispiel vor, dass der Quotient q positiv ist, also $q \geq 1$ . Damit kannst du die Partialsummen abschätzen.

$\(\sum \limits_{k=0}^n q^k \geq \(\sum \limits_{k=0}^n 1^k = \(\sum \limits_{k=0}^n 1 =n$

Die Partialsumme s_n ist also immer größer als n. Wenn du jetzt die Folge der Partialsummen, also die geometrische Reihe betrachtest, dann ist die auf jeden Fall immer größer als die Folge mit den Gliedern n.

$\left( \(\sum \limits_{k=0}^n q^k \right)_{n \in \mathbb{N}} \geq \left( n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

Damit hast du gezeigt, dass die geometrische Reihe divergiert, weil die Folge $\left(n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ gegen unendlich geht, also auch divergiert.

Geometrische Reihe Beispielaufgaben

Hier findest du nochmal zwei Aufgaben zur geometrischen Reihe.

Beispielaufgabe 1

Prüfe, ob die Reihe konvergiert und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty 5^k$

Lösung

Der Quotient ist in diesem Fall q=5 und damit größer als 1. Deshalb divergiert die Reihe.

Beispielaufgabe 2

Prüfe, ob die Reihe konvergiert und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty 3 \cdot \frac{1}{2^k}$

Lösung

Die Reihe konvergiert, denn $q = \frac{1}{2} <1$ und der Grenzwert berechnet sich durch

$\(\sum \limits_{k=0}^\infty 3 \cdot \frac{1}{2^k} = 3 \cdot \(\sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^k = 3 \cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \right) = 3 \cdot 2 = 6$ .

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