Biegung des geraden Balkens

Biegelinie berechnen

Bevor wir uns der Biegung zuwenden, müssen wir ein paar Annahmen treffen. Zunächst gehen wir davon aus, dass der Querschnitt über den ganzen Balken konstant ist. Das heißt: ist der Balken am Anfang rund mit einem Radius von drei Zentimetern, ist dieser auch am Ende rund mit dem Radius von drei Zentimetern und ändert sich auch nicht zwischendurch. Weiterhin wollen wir davon ausgehen, dass der Balken aus einem homogenen linear-elastischem Material besteht. Das heißt der E-Modul ist über den ganzen Balken konstant. Die Verformungen, die wir betrachten sind zudem so klein, sodass wir das Hook’sche Gesetz verwenden können. Die letzte Annahme, die wir treffen, ist, dass wir keine Torsion haben. Das heißt der Balken wird nicht verdreht.

Stauchung, Dehnung und die neutrale Faser

Nachdem du nun die Annahmen kennst, können wir uns mit dem Balken selbst befassen. Wenn du dir einen einfachen Balken vorstellst, der am Ende mit einer Kraft belastet wird, weißt du sicher, dass der Balken sich nach unten verbiegen wird. Dabei wird der Balken unten zusammengestaucht und oben auseinandergezogen. Nun gibt es in diesem Balken auch eine Faser, die keine Längenänderung erfährt, also weder gestaucht noch langgezogen wird. Diese Faser wird neutrale Faser genannt. Das heißt die Dehnung Epsilon ist gleich Null! Das bedeutet allerdings nicht, dass die neutrale Faser immer gerade sein muss. Bei der Biegung folgt die neutrale Faser der Biegung. Dementsprechend wird die neutrale Faser dann auch Biegelinie genannt.
Als nächstes wenden wir uns der Biegespannung bzw. der Biegedehnung zu. Dafür legen wir das Koordinatensystem genau in die neutrale Faser, wobei z nach unten zeigt. In diesem Fall erhalten wir, mit Hilfe des Hook’schen Gesetzes, die Biegedehnung und Biegespannung. Dabei setzen wir die Werte im Verhältnis zum Krümmungsradius der Neutralen Faser Roh von x. Der Krümmungsradius resultiert aus der Biegung. Wenn du dir den Balken vorstellst, dann wird der Radius immer kleiner, je stärker die Biegung ist. Damit ergibt sich:

Das b bei der Spannung zeigt, dass es sich um eine Biegespannung handelt.
Damit können wir einen Zusammenhang zwischen Biegemoment und Biegespannung herstellen. Das Biegemoment in y-Richtung ist definiert als:

Unter der Annahme, dass Roh konstant ist, erhalten wir für das Biegemoment in y-Richtung:

Flächenträgheitsmoment

Das heißt, für die Biegung des geraden Balkens brauchen wir das Flächenträgheitsmoment. Falls du nicht mehr genau weißt was das ist, schau dir am besten nochmal das Video zu Flächenträgheitsmomente an. Analog können wir das für das Biegemoment in z-Richtung annehmen, wobei wir dann das z durch ein y tauschen:

Wenn du dir die Formel mal genau anschaust, erkennst du bestimmt, dass wir bei einem konstanten Moment die höchsten Werte für die Spannung erhalten, wenn y beziehungsweise z maximal werden:

Aus der Betrachtung ergibt sich, als geometrische Größe, das sogenannte Widerstandsmoment:

Daraus können wir nun vereinfachen:

In der Regel betrachten wir symmetrische Querschnitte, also Querschnitte, die sich an der y- und beziehungsweise oder an der z-Achse spiegeln lassen. Bei solchen Querschnitten lässt sich die gesamte Spannung einfach superponieren. Das ist einfach nur ein Fachausdruck, dass wir die Spannungen addieren können. Betrachten wir dazu einen Balken, der durch eine Längskraft und ein Biegemoment belastet wird.

direkt ins Video springen

Die Längskraft erzeugt eine konstante Spannung über den Querschnitt, während das Biegemoment einen Verlauf verursacht. Um den gesamten Verlauf zu bestimmen, müssen wir die erhaltenen Spannungen nur addieren. Bei unsymmetrischen Querschnitten müssen wir den Verlauf der Querschnittsfläche und den Spannungsverlauf vorher abschätzen. Das macht das rechnen wesentlich komplexer. Deshalb bleiben wir erst einmal bei den symmetrischen Querschnitten.

Die Biegelinie

Wie wir bereits wissen, wird die Neutrale Faser bei der Biegung auch Biegelinie genannt. Diese Biegelinie können wir bestimmen. Als Formelzeichen für die Biegelinie verwenden wir den Buchstaben w. Die zweite Ableitung der Biegelinie ist definiert als:

In der Regel können wir dabei von einem konstanten Querschnitt ausgehen, sodass wir bei der Integration einen konstanten Wert für das Flächenträgheitsmoment haben. Um nun auf die Biegelinie zu kommen, müssen wir den Term zweimal integrieren. Das heißt die Biegelinie ergibt sich für uns zu:

Ist der Momentenverlauf auch konstant, können wir das Integral sogar direkt lösen.

Dabei haben wir allerdings ein Problem: Wir kennen die Integrationskonstanten C eins und C zwei nicht. Dementsprechend gibt es sogenannte Randbedingungen, die dir helfen die Konstanten zu bestimmen. Randbedingungen erhalten wir durch Einspannungen, Festlager, einen freien Rand oder auch durch ein Gelenk. Wie genau wir damit die Konstanten erhalten, kannst du dir im Übungsvideo zur Biegung des geraden Balkens – Einzellast anschauen.