Zugversuch Übung

Zugversuch berechnen

Am Anfang frischen wir noch kurz die Grundlagen auf: Wir betrachten in der Regel linear-elastische Körper. Das heißt wir haben ein konstanten Elastizitäts- bzw. Schubmodul. Das sind Materialgrößen, die die Festigkeit beschreiben.
Bei linear-elastischen Körpern gilt zudem noch das Hook’sche Gesetz:

Unter allgemeiner Kraftbelastung gilt dann ein einfacher Zusammenhang für die Dehnungen in Achsenrichtung.

In x-Richtung:

In y-Richtung:

Und in z-Richtung:

Beispiel elastische Stütze

Jetzt sind wir wieder auf dem aktuellen Stand und können uns einem Beispiel zuwenden. Wir betrachten eine elastische Stütze. Das heißt wir haben einen Balken der Länge L gleich 30cm, der senkrecht an den Enden B und C gelenkig eingespannt ist. Der Balken hat einen konstanten Querschnitt mit A gleich 25 cm² und besteht aus Stahl. Der E-Modul von Stahl ist in der Regel konstant bei 211.000 MPa. Nun wird die Stütze am Punkt D mit einer Kraft F gleich 30 KN in Längsrichtung belastet. Der Punkt befindet sich in einem Abstand von a gleich 20cm zum Lager B.

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Jetzt wollen wir herausfinden, wie sich der Punkt D verschiebt und wie der Spannungsverlauf über den Balken aussieht.
Du hast sicher gemerkt, dass wir uns im ebenen, beziehungsweise im einachsigen Fall befinden. Dementsprechend müssen wir nur eine Richtung betrachten. Wir definieren uns also eine Laufkoordinate x, die im Lager B beginnt. Das heißt, hier ist x gleich Null. Wir wollen nun den Balken in zwei Bereiche einteilen. Die Bereiche werden in Punkt D getrennt, sodass Bereich 1 oberhalb von D liegt und Bereich zwei unterhalb. Die Bereichsgrenzen ergeben sich dann zu:

Als nächstes schneiden wir ein Stück des Balkens frei, in dem auch der Punkt D liegt. Wenn du nicht mehr genau weißt was das heißt, dann schau du dir am besten nochmal unser Video zu Schnittgrößen an.
Dadurch, dass ein wir ein Stück Balken freischneiden, betrachten wir also zwei Schnittufer. Deshalb müssen wir auch zwei Schnittkräfte und betrachten, beziehungsweise bestimmen. Dafür bilden wir erst einmal das Kräftegleichgewicht in x-Richtung:

Dehnung

Allerdings haben wir nur eine Formel für zwei Unbekannte und können das erstmal nicht so einfach lösen. Dementsprechend greifen wir jetzt auf die Dehnung zurück. Dadurch, dass das Material homogen ist und einen konstanten Querschnitt besitzt, können wir einfach sagen:

Damit ergibt sich für die Dehnungen:

Von der Dehnung können wir jetzt mit Hilfe von Integration auf die Verschiebung u schließen.

Da wir eine konstante Kraft wirken haben, können wir auch annehmen, dass die Normalkräfte konstant sind. Das vereinfacht uns die Integration und wir erhalten:

Als erstes betrachten wir nun Bereich 1 mit:

Wenn du dir den Balken genau anschaust, erkennst du schnell, dass wir an der Einspannung B keine Verschiebung haben, weil der Balken dort fest eingespannt ist. Das heißt, dass die Verschiebung bei x1 gleich Null ist. Dadurch folgt schnell: .

Bereich zwei

Als zweites betrachten wir Bereich 2. Für diesen gilt analog zu Bereich 1:

Hier können wir eine ähnliche Überlegung anstellen wie bei Bereich 1. Die Verschiebung muss wegen der festen Einspannung in Punkt C auch Null sein. Punkt C liegt bei x2 gleich L. Damit ergibt sich:

Jetzt haben wir immer noch nicht herausgefunden, wie groß die Normalkräfte sind. Dafür brauchen wir eine dritte Bedingung. Betrachten wir einfach mal Punkt D: die Verschiebung u1 in Punkt D im Bereich eins muss ja genau die Verschiebung u2 in Punkt D im Bereich zwei sein, da der Balken kontinuierlich ist und keine Lücke aufweist. Damit erhalten wir eine zweite Gleichung mit nur N1 und N2 als Unbekannte:

Das Ganze können wir jetzt zusammenfassen und E A raus kürzen zu:

Aus dem Kräftegleichgewicht wissen wir noch:

Setzen wir das wiederum in die andere Gleichung ein, ergibt sich:

Verschiebung bestimmen

So, jetzt können wir unsere Angaben einsetzen. Schauen wir sie uns noch einmal an:
Damit können wir die Normalkräfte schnell bestimmen mit:

Daraus folgen dann wiederum die Spannungen:

Wie erwartet, haben wir bis zum Punkt D eine Zugspannung und ab Punkt D eine Druckspannung. Das erkennen wir daran, dass Sigma x1 größer Null ist und Sigma x2 kleiner Null ist.
Jetzt müssen wir nur noch die Verschiebung von D bestimmen. Dafür können wir die Formel für die Verschiebung in Bereich eins verwenden:

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Das heißt der Punkt bewegt sich nur minimal nach unten. Das liegt daran, dass der E-Modul so hoch ist.
Du kannst dir bestimmt schon denken warum, du beim Abschleppen deines Autos keine Veränderung an der Kette siehst. Denn Ketten sind häufig aus Stahl ist und Stahl besitzt ein sehr hohes E-Modul. Bis bald!