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Schubspannung – Vollquerschnitte

Wie kommt man eigentlich auf die Formel zur Berechnung von Schubspannungen? Das zeigen wir dir in diesem Beitrag.

Inhaltsübersicht

Grundsätzliches zur Schubspannung

Schubkräfte können in einem Balken sowohl durch Querkräfte, als auch durch ein Torsionsmoment hervorgerufen werden. Hier leiten wir die Formel für durch Querkraft verursachte Schubspannungen her. Der Balken besitzt dabei einen konstanten Querschnitt und die Schubspannung ist über die Dicke des Balkens konstant.

Biegungen

Die Z-Achse ist die Symmetrieachse des Balkens. Die Querkraft Q wirkt in ihre Richtung. Es tritt durch die Schubspannung also eine Biegung um die y-Achse auf. Betrachten wir einmal den Querschnitt des Balkens. Aus der Symmetrie des Spannungstensors folgt, dass die Schubspannung randparallel wirkt. Die Schubspannung kann man dabei an jedem Punkt des Querschnittes in ihre Komponenten in y- und in z-Richtung zerlegen.
Das Flächenintegral der z-Komponente der Schubkraft, auch als $\tau_{xz}$ bezeichnet, ergibt die Querkraft. Wie können wir diese nun berechnen? Dazu schneiden wir aus dem Balken einen Abschnitt der Dicke .

Querschnitte

Die Biegespannung, die auf das Element wirkt, berechnet sich aus dem Moment M geteilt durch das Flächenträgheitsmoment Iy, mal z.

$\sigma\left(x,z\right)=\frac{M\left(x\right)}{I_y\left(x\right)}\ z$

Schubspannungen in Schnittflächen

Außerdem wirkt noch die Schubspannung $\tau\left(x,z\right)$ auf die Stirnflächen. Da der Spannungstensor symmetrisch ist, ergibt sich die gleiche Schubspannung auch für die Schnittfläche. Somit erzeugt die Querkraft auch Schubspannung in parallelen Schnittflächen. Wir stellen nun die Kräftegleichung für unser Element auf:

Kräftegleichung

Das Flächenintegral läuft dabei über die Stirnfläche des Elementes, also von der oberen Kante z_0ab. Wir teilen nun durch die Dicke . Mit ∆x→0 erhalten wir:

$\int_{z0}^{z}{\frac{\delta}{\delta x}\sigma\left(x,\ \bar{z}\right)}b\left(\bar{z}\right)d\bar{z}=-b\left(z\right)\ \tau\left(x,z\right)$

Nun nehmen wir die Formel für die Biegespannung und formen diese mit $M\prime\left(x\right)=Q\left(x\right)$ um.

$\frac{\delta\sigma}{\delta x}=\frac{Q\left(x\right)}{I_y}z$

Wir setzen dies in die obige Gleichung ein und erhalten für unsere Schubspannung.

$\tau\left(x,z\right)=-\frac{Q\left(x\right)}{I_yb\left(z\right)}\int_{z0}^{z}{\bar{z}dA}$

Das Integral auf der rechten Seite entspricht dem statischen Moment $S\left(z\right)$ . Wir erhalten unsere Schubspannungsformel also letztendlich mit:

$\tau\left(x,z\right)=-\frac{Q\left(x\right)\ S\left(z\right)}{I_yb\left(z\right)}$

Sehr schön! Somit haben wir uns eine einfache Formel zum Berechnen der Schubspannung erschlossen.

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