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Nutzenmaximierung

Du bist dir nach der Vorlesung immer noch unsicher, wie du eine Nutzenmaximierung durchführst? Im folgenden Beitrag fassen wir nochmal die wichtigsten Inhalte zusammen, sodass du ohne Sorgen in die nächste Mikro-Vorlesung gehen kannst.

Inhaltsübersicht

Nutzenmaximierung Definition

Unter Nutzenmaximierung versteht man das Ziel des Nachfrageverhaltens von rationalen Wirtschaftsakteuren. Diese versuchen die geeignete Mengenaufteilung von Produkten und Dienstleistungen zu finden, die gerade noch durch ein begrenztes Budget finanziert werden kann und ihren individuellen Gesamtnutzen maximiert.

Nutzenmaximierung in der Haushaltheorie: Grenzrate der Substitution = Preisverhältnis

Du wählst einfach irgendein Güterbündel auf der Budgetgeraden, beispielsweise Burger und Bier. Aber wir wissen ja, dass das Nutzenniveau umso höher ist, je weiter die Indifferenzkurve vom Ursprung entfernt ist. Deswegen möchtest Du hier Deinen Nutzen maximieren. Du willst Dein Geld also genau für das Güterbündel ausgeben, das auf der Indifferenzkurve liegt, die möglichst weit vom Ursprung entfernt ist und mit der Du trotzdem nicht die Budgetrestriktion verletzt. Wir suchen deshalb den Tangentialpunkt zwischen Indifferenzkurve und Budgetrestriktion. Dieser liegt dort, wo die Grenzrate der Substitution mit der Steigung der Budgetgeraden, also dem Preisverhältnis, übereinstimmt.

Nutzenmaximierendes Güterbündel, inidividuelle Nutzenmaximierung — Nutzenmaximierendes Güterbündel

Du siehst, dass nur die mittlere Indifferenzkurve in Frage kommt, da dort die Budgetrestriktion gerade noch erfüllt ist. Dein nutzenmaximierendes Güterbündel ist also $x_1^\ast/x_2^\ast$ .

Nutzenmaximierung Beispiel

Um das Problem mathematisch zu lösen, brauchen wir den Lagrange-Ansatz, da wir ja eine Hauptbedingung – die Nutzenfunktion – und eine Nebenbedingung – die Budgetrestriktion – haben. Folgende Schritte musst du wie beim allgemeinen Lagrange-Ansatz durchführen:

Den Lagrange-Ansatz aufstellen
Nach allen Variablen ableiten
Das Gleichungssystem lösen

Wir haben wieder eine Nutzenfunktion, in unserem Fall eine Cobb-Douglas Funktion $U\left(\ x_1,\ \ x_2\ \right)=\ {x_1}^{0,5} * {x_2}^{0,5}$ , Preise für p_1=2 , p_2=8 und ein Budget von m=64 gegeben. Hier möchtest Du Deinen Nutzen, die Eiswaffeln (x_1) und Freibadbesuche (x_2) , maximieren, darfst aber gleichzeitig nicht mehr Geld ausgeben, als du hast. Wir müssen also die Budgetrestriktion als Nebenbedingung ${m=p}_1\ast x_1+p_2\ast x_2$ beachten. Damit wir sie für unseren Lagrange-Ansatz verwenden können, müssen wir sie erstmal zu $0= m-p_1\ast x_1-p_2\ast x_2$ umstellen.
Der erste Schritt der Nutzenmaximierung: Lagrange-Ansatz aufstellen:

$L = {x_1}^{0,5} * {x_2}^{0,5} + \lambda*(\ m-p_1\ast x_1-p_2\ast x_2)$

Jetzt musst Du ihn nach jeder Variablen einmal ableiten. Also nach x_1 , x_2 und $\mathbf{\lambda}$ :

Nutzenmaximierung Beispiel, Nutzenmaximierung berechnen — Beispiel: Nutzenmaximierung

Nun teilst Du die erste Gleichung durch die zweite. Das sieht dann so aus:

Nutzenmaximierung Beispiel, Berechen mit GRS — Nutzenmaximierung Grenzrate der Substitution

Nutzenmaximierung berechnen

Bestimmt hast Du schon gesehen, dass dieser Teil hier die Grenzrate der Substitution ist, auch MRS genannt.
Durch Kürzen und Umstellen erhältst Du dann folgende Gleichung:

$\frac{x_2}{x_1}-\ \frac{p_1}{p_2} =0$

Jetzt musst Du nur noch Dein Preisverhältnis auf die andere Seite des = bringen… und schon zeigt es dir an, in welchem Verhältnis Deine Freibadbesuche und Deine Eiswaffeln gegeneinander ausgetauscht werden können.

$\frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2}$

Nun hast Du links die Grenzrate der Substitution, also die Steigung der Indifferenzkurve, und rechts das Preisverhältnis, also die Steigung Deiner Budgetgeraden, stehen. Dann stellst du das Ganze nach einem x um, in unserem Fall am besten nach x_2 .

$x_2=\frac{p_1}{p_2}\ast\ x_1$

Schauen wir uns zur Sicherheit nochmal an, was wir alles gegeben hatten. Da waren unsere Preise p_1=2 für das Eis und p_2=8 für den Freibadbesuch. Insgesamt haben wir ein Budget von 64. Die gegebenen Preise kannst Du ebenfalls in Deine Gleichung einsetzen:

Nutzenmaximierung, Lagrange Ansatz, — Beispiel: Nutzenmaximierung

Damit hast Du die Optimalitätsbeziehung der beiden Güter. Sie gibt Dir an, in welchem Verhältnis die beiden Güter zueinanderstehen. Das Ganze setzt Du jetzt noch in Deine umgestellte Budgetrestriktion ein:

$\bigm m-p_1\ast x_1-p_2\ast\left(\frac{2}{8}\ast x_1\right)=0$

Da Du ja für Deine Freibadbesuche und Eiswaffeln nur 64€ ausgeben darfst und auch weißt, wieviel beides kostet, kannst Du auch diese Informationen in Deine Gleichung einbringen:

$\bigm64-2\ast x_1-8\ast\left(\frac{2}{8}\ast x_1\right)=0$

Jetzt musst Du das Ganze nur noch nach x_1 umstellen, dann weißt Du auch schon, wie oft Du Dir diesen Sommer ein Eis leisten kannst:

x_1=16

Nach der Nutzenmaximierung kannst du also 16 mal ein Eis kaufen. Diese Information setzt Du dann in deine Gleichung für die Optimalitätsbeziehung der beiden Güter ein und erhältst nun auch Deine nutzenmaximierende Anzahl an Freibadbesuchen:

x_2= 4

Du kannst also 4 mal ein Freibad besuchen.

Zusammenfassung

Um die Nutzenmaximierung durchzuführen, musst Du Dein nutzenmaximierendes Güterbündel aus Freibadbesuchen und Eiswaffeln errechnen. Der erste Schritt ist also, dass Du den Lagrange – Ansatz mit der Budgetrestriktion als Nebenbedingung aufstellst. Im 2. Schritt leitest Du diesen dann nach allen Variablen ab. Der 3. und letzte Schritt ist etwas aufwändiger: Du teilst die Ableitung nach x_1 durch die Ableitung nach x_2 . Dann stellst Du das Ganze nach einer Variablen um. Diese Gleichung setzt Du in die Budgetrestriktion ein und erhältst auch schon den ersten Wert für Dein Güterbündel. Wenn Du den Wert dann in Dein optimales Austauschverhältnis von vorhin einsetzt, erfährst du, wieviel Du für Dein zweites Gut ausgeben solltest.

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