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Satz von Steiner

Wie wendest du den Satz von Steiner bei Flächenträgheitsmomenten an? Das Erklären wir dir in diesem Beitrag

Inhaltsübersicht

Der Satz von Steiner beim Flächenträgheitsmoment

Der Satz von Steiner resultiert aus der Überlegung, wie sich das Flächenträgheitsmoment verändert, wenn wir das Koordinatensystem in der y-z-Ebene verschieben. Das heißt, wir betrachten keine Drehung! Die wichtigste Anwendung ist dabei die Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich des Schwerpunkts. Dabei beschreiben wir komplexe Geometrien durch einfache, bekannte Geometrien.

Berechnung in vier Schritten

Geometrie in bekannte Flächen wie Kreise oder Rechtecke aufteilen.
Flächenschwerpunkt berechnen.
Abstände der Schwerpunkte der Einzelflächen zum Gesamtschwerpunkt bestimmen.
Flächenträgheitsmomente ermitteln: In diesem Schritt musst du zuerst die Eigenträgheitsmomente berechnen, dann die Steineranteile herausfinden und zum Schluss beide zusammenführen.

Das klingt jetzt noch etwas kompliziert. Deshalb gehen wir das Ganze mit einem Doppel-T-Träger durch. Der Steg hat die Höhe h eins gleich 20 Zentimeter und die Breite b eins gleich 1,5 Zentimeter. Der obere Gurt hat eine Höhe von h zwei gleich 2,5 Zentimeter und eine Breite b zwei von 15 Zentimeter. Der untere Gurt hat hingegen eine Höhe h drei von einem Zentimeter und eine Breite von 20 Zentimeter. Das Koordinatensystem möchten wir genau in die Mitte des Stegs legen.

Abmessungen Doppel T-Träger Flächenträgheitsmoment — Abmessungen Doppel T-Träger

Das Einteilen in Flächen haben wir durch die Beschreibung des Doppel-T-Trägers bereits gemacht. Also berechnen wir jetzt den Schwerpunkt. Aus Symmetriegründen erkennen wir direkt, dass der Schwerpunkt y S genau im Ursprung liegen muss. Also müssen wir nur noch die z-Koordinate bestimmen:

Für die Fläche 1 gilt dabei z1 ist gleich 0.
Für die Flächen 2 und 3 lässt sich z berechnen mit:

$z_2=-\left(\frac{h_1}{2}+\frac{h_2}{2}\right)=\ -\left(\frac{20}{2}+\frac{2,5}{2}\right) = -11,25\ cm$

$z_3=\left(\frac{h_1}{2}+\ \frac{h_{3}}{2}\right)=\ \left(\frac{20}{2}+\ \frac{1}{2}\right)=10,5\ cm$

Setzen wir z1, z2 und z3 in die Formel für die z-Koordinate des Schwerpunkts ein, erhalten wir:

$z_S=\frac{z_1A_1+z_2A_2+z_3A_3}{A}=\frac{0\ast A_1+\left(-11,25cm\right)A_2+\left(10.5cm\right)A_3}{A}=-2,421cm$

Als nächstes bestimmen wir die Abstände. Allgemein gilt dabei:

$z_{A,i}=z_i-z_S\ und\ y_{A,i}=y_i-y_S$

Wir können also für jede Fläche allgemein die Abstände bestimmen:
Für A eins gilt:

$A_1:\ z_{A,1}=z_1-z_S=2,421cm\ und\ y_{A,1}=y_1-y_S=0$

Für A zwei gilt:

$A_2:\ z_{A,2}=z_2-z_S=-8,829\ cm\ und\ y_{A,2}=y_2-y_S=0$

Und für A drei gilt:

$A_3:\ z_{A,3}=z_3-z_S=12,921cm\ und\ y_{A,3}=y_3-y_S=0$

Flächenträgheitsmoment bestimmen

Jetzt können wir auch schon die Flächenträgheitsmomente bestimmen. Als erstes musst du die Eigenträgheitsmomente, also die Flächenträgheitsmomente der einzelnen Flächen bezüglich ihres eigenen Schwerpunkts, herausfinden. Die Formeln für die Berechnung der Flächenträgheitsmomente bekannter Flächen kann man einer Tabelle entnehmen, die dir in der Klausur meist gegeben ist. Dabei gilt für Rechteckflächen:

Flächenträgheitsmomente - Tabelle Satz von Steiner — Flächenträgheitsmomente – Tabelle

Damit können wir die Eigenträgheitsmomente unserer Flächen bestimmen:

$A_1:\ \ J_{22,1}=\frac{b_1h_1^3}{12}=1000{mm}^4,\ \ J_{33,1}=\frac{b_1^3h_1}{12}=5,625{mm}^4$

$A_2:\ \ J_{22,2}=\frac{b_2h_2^3}{12}=19,531{mm}^4,\ \ J_{33,2}=\frac{b_2^3h_2}{12}=703,125{mm}^4$

$A_3:\ \ J_{22,3}=\frac{b_3h_3^3}{12}=1,667{mm}^4,\ \ J_{33,3}=\frac{b_3^3h_3}{12}=666,667{mm}^4$

Als nächstes bestimmen wir die Steineranteile. Diese berechnen sich immer aus dem senkrechten Abstand zur Achse, in die das Flächenträgheitsmoment zeigt. Das heißt für j zwei zwei verwenden wir den Abstand in z-Richtung und für j drei drei in y-Richtung.

Steiner Anteile bestimmen

Damit können wir nun auch für jede Fläche die Steiner-Anteile bestimmen:
Für A1 erhalten wir:

$A_1:\ \ J_{22,1}:\ z_{A,1}^2A_1=175,837{mm}^4,\ \ J_{33,1}:\ y_{A,1}^2A_1=0,\ \ J_{23,1}=z_{A,1}y_{A,1}A_1=0$

Für A2 ergibt sich:

$A_2:\ \ J_{22,2}:\ z_{A,2}^2A_2=2923,172{mm}^4,\ \ J_{33,2}:\ y_{A,2}^2A_2=0,\ \ J_{23,2}=z_{A,2}y_{A,2}A_2=0$

Und für A3 erhalten wir:

$A_3:\ J_{22,3}:\ z_{A,3}^2A_3=3339,045{mm}^4,\ \ J_{33,3}:\ y_{A,3}^2A_3=0,\ \ J_{23,3}=z_{A,3}y_{A,3}A_3=0$

Jetzt haben wir alles, was wir brauchen, um die Flächenträgheitsmomente zu berechnen. Dafür addieren wir einfach die Eigenmomente und Steineranteile der jeweiligen Flächen zu einem gesamten Flächenträgheitsmoment aufeinander auf:

$J_{22,ges}=\ J_{22,1}+\ \ J_{22,2}+J_{22,3}+z_{A,1}^2A_1+z_{A,2}^2A_2+z_{A,3}^2A_3=7459,25\ {mm}^4$

$J_{33,ges}=J_{33,1}+J_{33,1}+J_{33,1}+y_{A,1}^2A_1+y_{A,2}^2A_2+y_{A,3}^2A_3=1375,416\ {mm}^4$

$J_{11,ges}=J_{22,ges}+J_{33,ges}=8834,668\ {mm}^4$

$J_{23,ges}=z_{A,1}y_{A,1}A_1+z_{A,2}y_{A,2}A_2+z_{A,3}y_{A,3}A_3=0$

Für J drei drei und J zwei drei versschwinden die Steineranteile, da der y-Abstand der einzelnen Flächen zum Schwerpunkt Null ist.
Wenn du nach diesem Schema vorgehst, kannst du für jeden beliebigen Querschnitt die Flächenträgheitsmomente bestimmen.

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