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Flächenträgheitsmomente

Du möchtest wissen, was das Flächenträgheitsmoment ist und wie du verschiedene Flächenträgheitsmomente berechnen kannst? Dann bleib dran!

Inhaltsübersicht

Flächenmoment 2. Grades

Das Flächenträgheitsmoment I ist eine geometrische Größe, die von Querschnitten von Trägern in der Mechanik abgeleitet wird. Es wird auch Flächenmoment 2. Grades genannt und sagt aus, wie groß der Widerstand eines Querschnittes gegen eine Verformung von außen ist.

Flächenträgheitsmomente — Verschiedene Flächenträgheitsmomente

Es gibt auch ein Flächenmoment 1. Grades, das statische Moment, und das Flächenmoment 0. Grades, die Querschnittsfläche. Du solltest diese jedoch nicht durcheinanderbringen.
Das Flächenträgheitsmoment wird in der Festigkeitslehre zur Berechnung von Verformungs- und Spannungsberechnung verwendet. Außerdem dienen sie der Berechnung von Belastungen, die zum Knicken von Stäben führen.

Grundsätzlich gibt es drei verschiedene Arten von Flächenträgheitsmomenten: Das axiale Flächenträgheitsmoment, das polare Flächenträgheitsmoment und das biaxiale Flächenträgheitsmoment.

Axiales Flächenträgheitsmoment

Wir beginnen zunächst mit dem axialen Flächenträgheitsmoment I_a . Dieses beschreibt die Querschnitts-Abhängigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung. Die Formel für das axiale Flächenträgheitsmoment um die y-Achse lautet:

${I}_y=\int_{A}^{\ }{z^2dA}$

Z ist hierbei der senkrechte Abstand der y-Achse zum Element dA. Für die Biegung um die z-Achse würde das so aussehen:

${I}_z=\int_{A}^{\ }{y^2dA}$

Das axiale Flächenträgheitsmoment kann nur positive Werte annehmen.

Polares Flächenträgheitsmoment

Nun sehen wir uns das polare Flächenträgheitsmoment an. Dieses setzt sich aus beiden Flächenträgheitsmomenten I_y und\ I_z \ zusammen.

I_p=I_y+I_z

Die allgemeine Formel für das polare Flächenträgheitsmoment lautet:

$I_p=\int_{A}^{\ }{r^2dA}$

Deviationsmoment/ Biaxiales Flächenträgheitsmoment

Nun fehlt nur noch das biaxiale Flächenträgheitsmoment. Dieses wird auch als Deviations- oder Zentrifugalmoment bezeichnet. Das biaxiale Flächenträgheitsmoment ist gleich Null wenn y oder z Symmetrieachsen des Körpers sind. Im Gegensatz zu den anderen beiden Flächenträgheitsmomenten kann das biaxiale Flächenträgheitsmoment positive und negative Werte annehmen. Die allgemeine Formel lautet:

${I}_{yz}=-yzdA$

Flächenträgheitsmoment Kreis, Halbkreis und Kreisring

Für oft verwendete geometrische Querschnitte gibt es Formeln für die Biegung um eine Schwerachse. Erfolgt die Biegung um eine Achse, die parallel zur Schwerachse ist, können die Formeln auch verwendet werden, allerdings muss der Steinersche Anteil hinzuaddiert werden. Wie man diesen berechnet, zeigen wir dir im nächsten Video.
Schauen wir uns einige dieser Formeln doch einmal anhand einer Tabelle an:

Formeln Flächenträgheitsmomente geometrische Querschnitte — Formelsammlung

Wie du sehen kannst, gibt es für die verschiedenen geometrischen Formen sehr viele Formeln. Die aufgelisteten sind nur die wichtigsten. Am besten, du schreibst dir diese einfach in deine Formelsammlung, dann hast du sie immer parat.
Du kannst auch Flächenträgheitsmomente voneinander abziehen, um Formen zu berechnen. Sieh dir zum Beispiel die Formel für den Kreisring an und vergleiche sie mit derjenigen für den normalen Kreis. Außerdem kannst du auch das Flächenträgheitsmoment für zusammengesetzte Querschnitte berechnen.

Beispielrechnung

Versuchen wir das doch mal anhand des Querschnitts eines Balkens. Dieser sieht aus wie ein umgedrehtes L mit einem Quadrat oben drauf. Zur Vereinfachung teilen wir den Querschnitt in drei Flächen auf. Als erste Fläche nehmen wir das senkrechte Rechteck. Das ist vier a hoch und a breit. Die zweite Fläche ist das waagerechte Rechteck mit der Breite drei a und der Höhe a. Das Quadrat hat die Kantenläge a. Die Länge a ist hier sechs Zentimeter.
Das Koordinatensystem legen wir im Abstand a unterhalb der Fläche zwei. Dabei liegt die y-Achse nach links und die z Achse nach unten genau entlang der linken Kante von Fläche eins.

Doch bevor wir die Flächenträgheitsmomente bestimmen können, müssen wir wissen wo der Schwerpunkt der Gesamtfläche liegt. Die Berechnung dazu sparen wir uns allerdings erst einmal. Wir nehmen den Schwerpunkt als gegeben an:

$y_s=\frac{\sum{y_iA_i}}{A}=0$

$z_s=\frac{\sum{z_iA_i}}{A}=\ -2,25\ cm$

Wenn du nicht mehr weißt wie du den Schwerpunkt selbst berechnen könntest, schau dir doch unser Video zur Schwerpunktberechnung an.
Jetzt können wir auch die Flächenträgheitsmomente bezüglich des Schwerpunkts finden. Wir beginnen mit dem axialen Flächenträgheitsmoment $J_{22}$ . Dieses setzt sich zusammen aus den jeweiligen Flächenträgheitsmomenten der einzelnen Flächen. Die Zahl im Index nach dem Komma gibt dabei jeweils an, um welche Fläche es sich handelt.
Dafür betrachten wir die Flächen vorerst einzeln. Aus der Tabelle können wir ablesen, wie sich $J_{22}$ für Rechtecke errechnet.
Für Fläche 1 gilt b gleich a und h gleich 4a. Somit erhalten wir:

$1:\ \ {\bar{J}}_{22,1}=\frac{a\left(4a\right)^3}{12}$

Danach bestimmen wir den jeweiligen Steiner-Anteil. Dieser berechnet sich immer aus dem senkrechten Abstand zur Achse, in die das Flächenträgheitsmoment zeigt. Das heißt, für $J_{22}$ \ verwenden wir den Abstand in z-Richtung und für $J_{33}$ in y-Richtung. Für Fläche 1 gilt: z_1 gleich a und A gleich 4a^2

Steiner-Anteil: $\left(z_1-z_S\right)^2A_1={\frac{11}{8}}^24a^4$

Analog dazu berechnen wir für Fläche 2 und 3:

$2:\ \ {\bar{J}}_{22,2}=\frac{a^33a}{12}$

Steiner-Anteil: $\left(z_2-z_S\right)^2A_2={\frac{9}{8}}^23a^4$

$3:\ \ {\bar{J}}_{22,3}=\frac{a^4}{12}\$

Steiner-Anteil: $\left(z_3-z_S\right)^2A_3={\frac{17}{8}}^2a^4$

Flächenträgheitsmomente addieren

Die Werte müssen wir jetzt nur noch summieren. Danach setzen wir unsere Kantenlänge von a gleich sechs Zentimetern ein und erhalten das gesamte Flächenträgheitsmoment mit:

${\hat{J}}_{22}={\bar{J}}_{22,1}+\left(z_1-z_S\right)^2A_1+{\bar{J}}_{22,2}+\left(z_2-z_S\right)^2A_2+{\bar{J}}_{22,3}+\left(z_3-z_S\right)^2A_3=\frac{517}{24}a^4=27918{cm}^4$

Analog dazu können wir $J_{33}$ berrechnen:

${\hat{J}}_{33}={\bar{J}}_{33,1}+\left(y_1-y_S\right)^2A_1+{\bar{J}}_{33,2}+\left(y_2-y_S\right)^2A_2+{\bar{J}}_{33,3}+\left(y_3-y_S\right)^2A_3=\frac{14}{3}a^4=6048{cm}^4$

Als nächstes wollen wir das polare Flächenträgheitsmoment $J_{11}$ ermitteln. Wir könnten das jetzt analog bestimmen. Doch du weißt vielleicht noch, dass im Schwerpunkt gilt:

$J_{11}=J_{22}+J_{33}$

Damit erhalten wir das polare Flächenträgheitsmoment:

$J_{11}=J_{22}+J_{33}=33966{cm}^4$

Jetzt fehlt uns nur noch das Deviationsmoment. Das müssen wir jetzt wieder über die einzelnen Flächen bestimmen. Der Tabelle entnehmen wir, dass das Deviationsmoment für Rechtecke gleich Null ist, wir müssen deshalb jetzt nur noch die Steiner-Anteile bestimmen:

$1:\left(z_1-z_S\right)\left(y_1-y_S\right)A_1=-\frac{11}{8}\frac{1}{2}4a^4=-3564{cm}^4$

$2:\left(z_2-z_S\right)\left(y_2-y_S\right)A_2=-\frac{9}{8}\frac{1}{2}3a^4=-2187{cm}^4$

$3:\left(z_3-z_S\right)\left(y_3-y_S\right)A_3=-\frac{17}{8}\frac{1}{2}a^4=-1377{cm}^4$

Damit erhalten wir für das gesamte Deviationsmoment:

${\hat{J}}_{23}=\left(z_1-z_S\right)\left(y_1-y_S\right)A_1+\left(z_2-z_S\right)\left(y_2-y_S\right)A_2+\left(z_3-z_S\right)\left(y_3-y_S\right)A_3=-7128{cm}^4$

Wenn du dir die Berechnung des Flächenträgheitsmoments ausführlicher anschauen willst, dann bleib dran, denn in unserem Video Satz von Steiner – Flächenträgheitsmoment erklären wir dir nochmal die einzelnen Schritte.

Widerstandsmoment

Das Flächenträgheitsmoment wird übrigens zur Berechnung des Widerstandsmoments verwendet. Dieser gibt an, welchen Widerstand ein belasteter Balken der Entstehung von innerer Spannung entgegensetzt. Um diesen zu bestimmen, benötigst du folgende Formel:

$W=\frac{I}{\alpha_{max}}$

Jetzt bist du bestens über den Flächenträgheitsmoment und dessen verschiedene Arten informiert!

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